Анализ случайных процессов в линейных системах радиоэлектронных следящих систем

Определение статистических характеристик случайных процессов в линейных системах

Задающее воздействие и внутренние возмущения (флуктуации частоты, фазы, задержки) являются случайными процессами с нормальным законом распределения, который не изменяется при прохождении процессов через линейные цепи. Флюктуационная соста

вляющая напряжения на выходе дискриминатора (t) также процесс случайный, и хотя не всегда имеет нормальный закон распределения, но при прохождении через последующие узкополосные линейные цепи нормализуется.

Случайный процесс с нормальным законом распределения определяется математическим ожиданием и корреляционной функцией. Методы определения математического ожидания рассмотрены в предыдущем разделе. Рассмотрим методы определения корреляционной функции и связанной с ней дисперсией случайных процессов.

Спектральная плотность процесса на выходе и входе линейной системы связаны зависимостью

,

где - частотная передаточная функция системы;

- спектральная плотность процесса на входе.

Преобразовав по Фурье правую и левую часть можно определить корреляционную функцию:

.

Дисперсия случайного процесса на выходе линейной системы:

(1)

или:

, (2)

где Sv(w) –двусторонняя спектральная плотность процесса на выходе системы.

При использовании односторонней спектральной плотности N(f) выражение (2) может быть записано в виде:

,

где ; .

Расчет дисперсии случайного процесса с помощью стандартных интегралов

Для упрощения вычисления интеграла (6.1) его приводят к стандартному виду:

,

где ─ полином четной степени частоты;

- полином, корни которого принадлежат верхней полуплоскости комплексной переменной; n – степень полинома.

Вычисление производят по формулам:

; ; .

При n>3 формулы для расчетов можно найти в справочнике.

Условие применения стандартных интегралов: полином под интегралом должен быть дробно-рациональной функцией переменной и система должна быть устойчивой.

Рассмотрим пример расчета дисперсии ошибки слежения в системе, представленной структурной схемой (рис.1).

Рис.1. К примеру расчета дисперсии ошибки слежения.

Исходные данные:

─ флюктуационная составляющая, определяемая спектральной плотностью .

Рассчитаем дисперсию ошибки слежения по формуле дисперсию по формуле:

.

Передаточная функция от воздействия к ошибке

;

; .

Выполним расчет:

;

;

; ;

; ; ; ; ;

. (3)

Приведем ко входу дискриминатора и упростим выражение (3)

, (4)

где ; - спектр приведенного ко входу дискриминатора случайного процесса.

Таким образом, дисперсия ошибки слежения пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутого контура следящей системы и спектральной плотности флюктуационной составляющей.

Если вместо пропорционально-интегрирующего фильтра использовать интегратор, то: , и

;

Если на вход инерционного звена с передаточной функцией

подать шум со спектральной плотностью , то дисперсия на выходе будет равна

;

Таким образом шум вызывает одинаковый эффект на выходе инерционной цепи и в следящих системах, содержащих одно интегрирующее звено с добротностью, обратной постоянной времени .

Если следящая система содержит в качестве фильтра последовательное соединение инерционного звена и интегратора, то в этом случае

; ; ; .

Следовательно, постоянная времени инерционного звена не влияет на величину флюктуационной ошибки (дисперсию). Это объясняется тем, что при увеличении инерционного звена сужается полоса системы, но одновременно увеличивается максимум АЧХ, а площади под кривыми не изменяются (рис.2).

 Скачать реферат