Геометрический способ сложения сходящихся сил

(1.9)

Этот метод называется методом двойного проецирования.

Разложение силы по координатным осям. Операция разложения силы обратна операции сложения сил (см. рис.1.17). Следовательно, чтобы разложить силу F по координатном осям x,y,z, необходимо на силе F, как на диагонали, построить прямоугольный пар

аллелепипед, ребра которого параллельны данным осям x,y,z (рис.1.22)

По формуле диагонали параллелепипеда имеем:

F = F1 + F2 + F3 (1.10)

где F1, F2, F3 - составляющие силы F параллельные осям x.

Если орты осей координат i, j, k то: F1 = iFx, F2 = jFy, F3 = kFz (1.11) где Fx, Fy, Fz - проекции силы F на оси x,y,z. Подcтавляя (1.11) в (1.10), получаем: F = iFx + jFy + kFz. (1.12)

Формула (1.12) называется формулой разложения силы F по координатным осям. Проекции силы на оси координат определяются по формулам:

. (1.13)

Формула (1.12) справедлива при разложении любого вектора по координатном осям.

Аналитический способ определения силы по ее проекциям на координатные оси x,y,z. Если известны проекции силы на координатные оси x,y,z (риc.1.22), то модуль силы определим по формуле как диагональ прямоугольного параллелепипеда: Купить сейфы 1 класса.

, (1.14)

а ее направление - по трем направляющим косинусам:

. (1.15)

Аналитический способ определения равнодействующей системы сходящихся сил. Пусть на твердое тело действует сходящаяся система сил (F1, F2, . Fn). В таком случае равнодействующая этой системы сил определяется по формуле (1.6), т.е. равна геометрической сумме данных сил:

.

Спроецируем это векторное равенство на оси прямоугольных координат и найдем проекции равнодействующей:

(1.16)

Величина равнодействующей силы определится, согласно формуле (1.14), так:

, (1.17)

а направление - по трем направляющим косинусам:

. (1.18)

Пример. В точке А к телу приложены три силы: F1=18H, F2=24H, F3=30H, лежащие в одной плоскости и образующие между собой углы 105°,135° и 120°. Определить величину и направление их равнодействующей (рис.1.23)

Решение

Направим ось y по линии действия силы F3, а ось х перпендикулярно к ней. Из рисунка 1.23 видно, что сила F1 образует с положительными направлениями осей углы 30° и 60°, сила F2 - 135° и 45° и сила F3 - 90° и 180°. Пользуясь формулами (1.16) получаем:

Следовательно, проекции равнодействующей равны:

Отсюда по формуле (1.17) находим

.

Для определения угла a между равнодействующей и осью х имеем:

Так как и косинус, и синус этого угла отрицательны, то угол лежит в третьей четверти. Находим a= 251,1°.

Решение

Сначала рассмотрим равновесие узла L, в котором сходятся стержни 1,2,3. На узел, кроме заданной силы P, действуют еще реакции S1, S2, S3, направленные от узла в предположении, что стержни растянуты. Составляем уравнения равновесия пространственной системы сходящихся сил:

Решив составленные уравнения при заданном значении силы Р и углов, найдем:

S1 = - 172 Н, S2 = - 200 Н, S3 = 83 Н.

Теперь рассмотрим равновесие узла М. На этот узел, кроме силы Q, действуют реакции S4, S5, S6 и S'1. При этом на основании аксиомы взаимодействия реакция S'1 направлена противоположно S1, но численно S'1 = S1 = - 172 Н.

Для узла М уравнения равновесия будут:

При проецировании силы S4 на оси x и y использовался метод двойного проецирования.

Из последних уравнений находим S4 = - 159Н, S5 = 399Н. S6 = - 179Н.

Отрицательные знаки у S1, S2, S4, S6 указывают, что эти стержни сжаты.

Задача 1.2.1

Равнодействующая плоской системы сходящихся сил F1, F2, F3, F4 равна нулю. Определить модуль силы F1, если известны проекции трех других сил на оси координат:

F2x=4H; F2y=7H; F3x=-5H; F3y=-5H; F4x=-2H; F4y=0. (Ответ: 3,61 Н).

Задача 1.2.2

Известны проекции на оси координат Rx=18H и Ry=24H равнодействующей R плоской системы сходящихся сил F1, F2, F3, а также проекции сил F2, F3 на эти же оси: F2x=-9H; F2y=+7H; F3x=-12H; F3y=0. Определить модуль силы F1. (Ответ: 34,4 Н).

Задача 1.2.3

Два невесомых стержня АС и ВС соединены в точке С и шарнирно прикреплены к полу. К шарниру С подвешен груз 1 (рис.1.26). Определить реакцию стержня ВС, если усилие в стержне АС равно 43Н, углы a =60°, b =30°. (Ответ: - 24,8 Н).

Задача 1.2.4

Однородный шар весом 40 Н опирается на две плоскости, пересекающиеся под углом a =60° (рис.1.27). Определить давление шара на наклонную плоскость. (Ответ: 46,2 Н).

Задача 1.2.5

Три стержня AD,BD,CD соединены в точке D шарнирно (рис.1.28). Определить усилие в стержне CD, если сила F=8H находится в плоскости Oyz и угол a =20°. (Ответ: 0).

Равновесие тела под действием плоской системы сил.

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее алгебраический главный момент были равны нулю, то есть R = 0, LO = 0, где О - любой центр, расположенный в плоскости действия сил системы.

Вытекающие отсюда аналитические условия равновесия (уравнения равновесия) плоской системы сил можно сформулировать в следующих трех формах:

Основная форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей и сумма их алгебраических моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

Fix = 0; Fiy = 0; MO (Fi) = 0. (I)

 Скачать реферат