Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом

Если , то

Если , то

при ,

src="images/referats/11772/image022.png">

поэтому. Отсюда получим . Поскольку и , то для сходимости метода (4.2) достаточно потребовать, чтобы . Таким образом, достаточно, чтобы . Теорема доказана.

Оценка погрешности

Для оценки скорости сходимости предположим истокопредставимость точного решения, т.е. . Тогда

.

Для упрощения будем считать число чётным, т.е. и найдём оценку для . С этой целью оценим модуль подынтегральной функции

.

. Первый сомножитель для . Второй сомножитель для малых близок к единице, т.е. тоже положителен. Поэтому по крайней мере для всех , не превосходящих первой стационарной точки. Найдём стационарные точки функции .

.

Первые два сомножителя не равны нулю, в противном случае . Следовательно, ─ полное квадратное уравнение. Отсюда получим, что

─ стационарные точки функции . Рассмотрим :

где

.

Имеем

,

так как первые два сомножителя при условии (4.3) положительны. Значит, ─ точка максимума функции . Оценим в точке .

Покажем, что

. (4.7)

Предположим, что (4.7) справедливо. Оно равносильно неравенству

,

которое, в свою очередь, равносильно такому

(4.8)

Возведение в квадрат обеих частей неравенства (4.8) даст эквивалентное неравенство, если левая часть неотрицательна. Установим, при каких это будет.

Очевидно, при , .

Будем считать и возведём обе части неравенства (4.8) в квадрат. После приведения подобных членов получим

или

,

т.е..

При последнее неравенство справедливо и, следовательно, в силу равносильности неравенств, справедливо неравенство (4.7). Отсюда

.

Оценим теперь . Покажем, что

, (4.9)

т.е. , т.е.

Преобразовав последнее неравенство, получим

После возведения обеих частей неравенства в квадрат и приведения подобных членов, получим очевидное неравенство

.

В силу равносильности неравенств справедливо неравенство (4.9), так что

.

Таким образом, для справедлива оценка

.

Оценим в точке

.

Сначала потребуем, чтобы , т.е.

.

Усилим неравенство

.

Отсюда . При , причём, при .Пусть , тогда при условии

 Скачать реферат