Многочлены Лежандра, Чебышева и Лапласа

где

Многочлены имеют вид

Значения rn вычисляются по формулам

а разложение функции f(t) по смещенным многочленам

Чебышева первого рода имеет вид

(18)

Коэффициенты ak (k=0, 1, …) вычисляются по формуле (17), в которой - коэффициенты смещенного многочлена Чебышева первого рода .

В вычислениях удобнее пользоваться тригонометрической записью многочленов , а именно:

Сделав замену переменной 2x – 1 = cosθ (0≤θ≤π) и учитывая, что разложение (18) можно переписать в виде:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований.

Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию комплексного переменного (изображение) с функцией действительного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

Интеграл Лапласа имеет вид:

где интегрирование производится по некоторому контуру Lв плоскости комплексного переменного z, ставящий в соответствие функции f(z), определенной на L, аналитическую функцию F(p) комплексного переменного p=s+it.

Численное преобразование Лапласа - численное выполнение преобразования

,

переводящего оригинал f(t), 0<t<∞ в изображение F(p),, а также численное обращение преобразования Лапласа.

Необходимость применения численного преобразования Лапласа возникает вследствие того, что таблицы оригиналов и изображений охватывают далеко не все встречающиеся в практике случаи, а также вследствие того, что оригинал или изображение зачастую выражаются слишком сложными, неудобными для применений формулами.

Задачу численного обращения преобразования Лапласа можно также решать методами, основанными на разложении функции-оригинала в функциональный ряд. Сюда в первую очередь можно отнести разложение в степенной ряд, в обобщенный степенной ряд, в ряд по показательным функциям, а также в ряды по ортогональным функциям, в частности по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби и Лагерра. Задача разложения оригинала в ряды по многочленам Чебышева, Лежандра, Якоби в окончательном своем виде сводится к проблеме моментов на конечном промежутке. Пусть известно преобразование Лапласа F(p) функции β(t)f(t):

где f(t) - искомая функция, а β(t) - неотрицательная, интегрируемая на [0,∞) функция.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ван дер Поль Б., Бремер Х. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. — М.: Издательство иностранной литературы, 1952. — 507 с.

2. Диткин В.А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. — 544 с.

3. Кожевников Н.И., Краснощекова Т. И., Шишкин Н. Е. Ряды и интегралы Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа. — М.: Наука, 1964. — 184 с.

4. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. – М.: Наука, 1974. – 226 с.

Размещено на Allbest.ru

 Скачать реферат