Решение заданий по высшей математике

Прямоугольный декартов Базис

Т.к. они не компланарны, то они образуют базис, к-й называется декартовым.

Если известны декартовы координаты векторов, то линейные операции над векторами можно заменить арифм. действ. над их проекциями.

Если даны координаты точек А(х1,y1,z1) и B(x2,y2,z2, то проекции вектора АВ на оси будут равны

прox AB=x2-x1; прoy AB=y2-y1; прoz AB=z2-z1,т.е. разл

ожение вектора АВ по Базису:

АВ=( x2-x1)i +( y2-y1)j + (z2-z1)k

½AB½=Ö( x2-x1)2 +( y2-y1)2 + (z2-z1)2

24. Направляющие косинусы вектора а – косинусы углов между вектором и осями координат и равны отношению прилегающего катета к гипотенузе, т.е. отношению координат вектора к его модулю.

Пусть вектор а разложен по Базису след обр.:

а= axi+ayj+azk

ax =½a½*cosa; ay =½a½*cosb; az =½a½*cosc Þ cosa= ax /½a½

cosb= ay /½a½

cosc= az /½a½, т.к

½a½=Öax2+ay2+az2 имеем cosa= ax/Öax2+ay2+az2 и т.д.

19.Полярные координаты.

Пусть на плоскости дана точка О – полюс и луч ОР – полярная ось. Тогда положение точки М на плоскости определяет полярный угол j = ÐМОР и радиус-вектор r = ОМ. Пару (r,j)-называют полярными координатами ,где r-полярный радиус точки, j-полярный угол. Таким образом на плоск. Можно задать еще одну корд. Сист.-полярную. Прямоугольную декартову сист. Будем наз-ть согласованной с данной полярной

Если полярная ось совпадает с осями координат декарт сист., то

х = r Cos j, y = Sin j

и обратный переход

r = Öx2 + y2, tg j = y / x.

32. Классификация функций. Основные элементарные функции

Основные элементарные функции:

- постоянная у = с, с = const;

- степенная у = хn, n Î R;

- показательная у = ах, а > 0, a ≠ 1;

- логарифмическая у = logax, а > 0, a ≠ 1;

- тригонометрические у = Sin(x), y = Cos(x), y = tg(x), y = ctg(x);

обратные тригонометрические y = arcSin x, y = arcCos x и др.

11. Основная теорема алгебры

Всякий многочлен с любыми числовыми коэф., степень к-го не меньше единицы имеет хотя бы один корень в общем случае комплексный.

Рассмотри многочлен ¦(х) с комплексн. коэф., как комплексн. функцию комплексного переменного.

Таким обр. х может принимать любые значения, т.е. переменная х ихменяется на комплексной плоскости.

Значение функции ¦(х) также будут комплексными числами. Можно считать, что эти значения отличаются на второй комплексной плоскости, подобно тому, как в случае действит. Функций действ. Переменного. Значения независимого переменного отмечаются на одн. Числ. Прямой(оси абсцисс), а значение функции на др.(оси ординат).

Замечание: многочлен ¦(х) является непрерывной функцией комлексного переменного х для любого положит. Числа e,можно найти токое положит. Число d, что из усл. |х-х0| ád Þ |¦(х) -¦(х0) | á e .

Лемма: если своб. Член многочлена ¦(х) = a0xn+ a1xn-1 + a2xn-2+…+ an-1x равен нулю т.е. r(o)=0, то для всякого e ñ 0 можно подобрать такое dñ0,что при всех х, для к-х |х| ád будет |¦(х) | áe

Действительно, пусть число а имеет макс. значение:

А=max ( |a0|, |a1|,|a2|,…|an-1| ). Число e нам уже дано. Покажем, что если число d взять равным выражением d = e/А+e, то оно будет удовлетворять требуемым усл.

В самом деле, |¦(х) |£ |a0||х|n+|a1||х|n-1 +…+ |an-1||х| £ А(|х|n+|х|n-1+|х|), т.е.

¦(х) £ А |х|- |х|n+1|/1- |х|, т.к. |х| ád и d =e/А+e, получим:

|х|-|х|n+1/1- |х| á |х|/ 1- |х|, т.е.

¦(х) á А |х||/1- |х | á А*d/1-d á А* (e/А+e)/ 1- (e /А+e)=e.

ЧТД

(12-14).(1) Прямоугольные координаты на плоскости

Две взаимно перпендикулярные оси Ox и Oy, имеющие общее начало O и одинаковую единицу масштаба, образуют декартову (или прямоугольную) систему координат на плоскости. Ось Ox называется осью абсцисс, ось Oy - осью ординат, точка O - началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ox и Oy , называется координатной плоскостью и обозначается Oxy.

Пусть M - произвольная точка плоскости. Опустим из неё перпендикуляры MA и MB на оси Ox и Oy. Прямоугольными координатами x и y точки M называются величины OA и OB направленных отрезков OA иOB : x=OA, y=OB.

Координаты x и y точки M называются соответственно её абсциссой и ординатой. Символ M(x;y) означает, что точка M имеет координаты x и y. Начало координат имеет координаты (0;0).

Таким образом, каждой точке плоскости соответствует пара чисел (x;y) - её прямоугольные координаты.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IY.

12.(2) Расстояние м/у двумя точками плоскости

Расстояние м/у точками на корд. Оси вычисляется по формуле:

d= d(M1,M2)=|x2-x1|. Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то расстояние м/у точками вычисляется по формуле: d= d(M1,M2)=Ö(х2-х1)2 + (y2-y1)2

Замечание: расстояние м/у точками М1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) вычисляется по формуле: d= d(M1,M2)=Ö(х2-х1)2 + (y2-y1)2+(z2-z1)2

13. (2) Деление отрезка в данном отношении

Пусть М1(x1,y1) и M2(x2,y2)-различные точки плоскости

Пусть М(х,у) лежит на отрезке М1M2 и делит его в отношении l1: l2, т.е. ïМ1Mï / ïМM2ï=l1/ l2

Требуется выразить координаты х и у точки М через координаты точек М1 и M2 и числа l1, l2. Предположим, что отрезок М1M2 не пераллелен оси ОУ, отсюда: ïМ1Mï / ïМM2ï= ïМ1хMхï / ïМхM2хï;

ïМ1хMхï=|x1-x|; ïМхM2хï=|x-x2|, т.е. |x1-x|/|x-x2|=l1/ l2

Тоска М лежеит м/у точками М1 и M2 Þх1á х áх2 либо х1 ñ х ñ х2 Þ разности . x1-x и x-x2 имеют одинаковые знаки, а x1-x/x-x2=l1/ l2 отсюда: х=l2 х1 + l1 х2 /l1+l2

В случае, когда М1M2 параллелен ОУ, т.е. х1=х2=х справедливость формулы у= х=l2 у1 + l1 у2 /l1+l2 доказывается аналогичным рассуждением.

14. Уравнение окружности, уравнение эллипса

Уравнение окружности. Вывод:

общее свойство точек окружности |СМ| = R;

переход к координатной форме общего свойства

Ö(х – а)2 + (у – в)2 = R, (х – а)2 + (у – в)2 = R2.

 Скачать реферат