Определители и их применение в алгебре и геометрии

В частности,

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами ht=25 id="Рисунок 63" src="images/referats/7496/image162.png" alt=" \bar{a}, \bar{b}">и знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Теорема: векторно-скалярное произведение (АВС)=(А*В)С трёх некомпланарных векторов есть число, абсолютная величина которого выражает объём параллелепипеда, построенного на векторах А, В и С, как на рёбрах. Знак произведения положителен, если векторы А, В и С образуют систему, одноимённую с основной

5. Векторное произведение векторов, заданных проекциями

Обозначим через x1,y1,z1 проекции вектора А, а через x2,y2,z2 проекции вектора В. Выразим через них векторное произведение А*В:

АxВ=(ix1+jy1+kz1)*(ix2+jy2+kz2).

По распределительному свойству суммы векторов умножаются как многочлены:

АxВ=(i*i)x1x2+(j*i)y1x2+(k*i)z1x2+(i*j)x1y2+(j*j)y1y2+(k*j)z1y2+(i*k)x1z2+(j*k)y1z2+(k*k)z1z2. (1)

Так как I, j, k являются тремя взаимно перпендикулярными единичными векторами и вращение от j к k представляется с конца вектора i совершающимся против часовой стрелки, то:

.

Следовательно в полученном выражении (1) для АВ пропадут три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательная формула будет:

АxВ=i(y1z2-y2z1)+j(z1x2-z2x1)+k(x1y2-x2y1).

Последнюю формулу можно также записать в символический, лёгко запоминаемой форме, если воспользоваться понятием определителя 3-го порядка.

.

Вектор имеет координаты . Вектор имеет координаты . Тогда

Так как верна формула , то и следующая формула верна

6. Примеры решение задач (с использованием определителей)

Пример 1.

Найти площадь треугольника АВС с вершинами в точках А(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), C(x3; y3; z3).

Решение:

Так как вектор имеет проекции x2-x1 , y2-y1 , z2-z1 а вектор имеет проекции x3-x1 , y3-y1 , z3-z1 , то площадь треугольника

=.

Пример 2.

Определить синус угла А треугольника АВС с вершинами А(1,2,3), В(3,4,5), С(2,4,7).

Решение:

Так как векторы и имеют соответственно проекции 2,2,2 и 1,2,4, то

угол следует взять острым, если , и тупым, если . В данном случае угол А острый.

Вывод

Таким образом мы рассмотрели теорию определителей и выяснили, что, действительно, данная теория очень помогает при решение задач с системами n линейных уравнений с n неизвестными.

Также мы рассмотрели как теория определителей применяется в аналитической геометрии, в частности, в векторном и смешанном произведениях и задач, связанных с ними.

Список используемой литературы

1. Привалов И. И. Аналитическая геометрия Москва Государственное издательство технико-теоретической литературы 1956

2. www.wikipedia.ru

 Скачать реферат