Представление функции рядом Фурье

и по ним составим ряд Фурье нашей функции

Как видим, здесь коэффициент мы определили по общей формуле для при , но зато свободный ч

лен ряда запишем в виде .

Если функция F(x) кусочно-непрерывна в любом конечном промежутке и к тому же имеет период , то величина интеграла

по прежнему промежутку длины не зависит от .

Действительно, имеем

Если в последнем интеграла сделать подстановку , то он приведется к интегралу

и лишь знаком будет отличаться от первого интеграла. Таким образом, рассматриваемый интеграл оказывается равным интегралу

уже не содержащему .

Для того чтобы исследовать поведение ряда в какой-нибудь определенной точке , составим удобное выражение для его частичной суммы

Подставим вместо и их интегральные выражения и подведем постоянные числа под знак интеграла:

Легко проверить тождество

Воспользуемся этим тождеством для преобразования подынтегрального выражения, окончательно получим

(13)

Этот интеграл называют интегралом Дирихле, хотя у Фурье он встречается гораздо раньше.

Так как мы имеем дело с функцией от u периода , то промежуток интегрирования по сделанному выше замечанию можно заменить, например, промежутком

Подстановкой преобразуем этот интеграл к виду

Затем, разбивая интеграл на два: и приводя второй интеграл путем замены знака переменной тоже к промежутку , придем к такому окончательному выражению для частичной суммы ряда Фурье:

(14)

Таким образом, дело сводится к исследованию поведения именно этого интеграла, содержащего параметр n.

Для дальнейшего изложения материала нам потребуется одна лемма, принадлежащая Риману, которую мы оставим без доказательства.

Если функция непрерывна или кусочно-непрерывна в некотором конечном промежутке , то

и, аналогично,

Если вспомнить формулы, выражающие коэффициенты Фурье , то в качестве первого непосредственного следствия из леммы получается утверждение:

Коэффициенты Фурье кусочно-непрерывной функции при стремятся к нулю.

Вторым непосредственным следствием является так называемый «принцип локализации».

Взяв произвольное положительное число , разобьем интеграл в (14) на два: . Если второй из них переписать в виде

то станет ясно, что множитель при синусе

является кусочно-непрерывной функцией от t в промежутке . В этом случае по лемме этот интеграл при стремится к нулю, так что и само существование предела для частичной суммы ряда Фурье и величина этого предела целиком определяется поведением одного лишь интеграла

Но в этот интеграл входят лишь значения функции f(x), отвечающие изменению аргумента в промежутке от до . Этим соображением доказывается «принцип локализации», состоящий в следующем:

Поведение ряда Фурье функции f(x) в некоторой точке зависит исключительно от значений, принимаемых этой функцией в непосредственной близости рассматриваемой точки, т. е. в сколь угодно малой ее окрестности.

Таким образом, если взять две функции, значения которых в произвольно малой окрестности совпадают, то как бы они не расходились вне этой окрестности, соответствующие этим функциям ряды Фурье ведут себя в точке одинаково: либо оба сходятся, и притом к одной и той же сумме, либо оба расходятся.

Представление функций рядом Фурье

Наложим на функцию f(x) более тяжелое требование, а именно—предположим ее кусочно-дифференцируемой в промежутке .

Тогда имеет место общая теорема:

Теорема. Если функция f(x) с периодом кусочно-дифференцируема в промежутке , то ее ряд Фурье в каждой точке сходится и имеет сумму

 Скачать реферат