Фигуры постоянной ширины. Треугольник Рело

Попробуем доказать, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь через n— количество сторон многоугольника.

Доказательство.

Итак, площадь треугольника Рело равна .

Пусть дан правильный многоугольник со стороной а. О — центр вписанной и описанной окружности. ОА=ОD; ОНАD;АОD=(n-число сторон), т.к. треугольник равнобедренный, ОН –биссектриса угла АОD.

Следовательно,

АОН=НОD; АОН: АОН=; АН=, то .

.

Диаметром многоугольника является его наибольшая диагональ (в данном случае их две). Рассмотрим центральный угол АОВ и вписанный в окружность угол АМВ (рис. 21), то АОВ=2АМВ, АМВ=. AM=MB, то по теореме косинусов

, то

Площадь фигуры, в которую вписан правильный многоугольник состоит из площади многоугольника и суммы площадей равных сегментов. Площадь сегмента равна

(Sсегмента=Sсектора Sтреугольника АМВ).

Остается доказать, что это выражение будет всегда больше площади треугольника Рело, т.е. больше чем. Для этого вычтем из площади треугольника Рело площадь фигуры постоянного диаметра, в которую вписан правильный многоугольник и докажем, что эта разность при n>3 всегда будет отрицательной:

Итак, при любом n>3

Следовательно, разность площади треугольника Рело и площади фигуры постоянного диаметра, в которую вписан правильный многоугольник, отрицательна.Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рело имеет наименьшую площадь.

5. Применение треугольника Рело

5.1 Применение в некоторых механических устройствах

Треугольник Рело находит применение во многих механических устройствах, но ни в одном из них не используется его свойство кривой постоянной ширины. Лишь в 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для сверления квадратных отверстий (рис.22). С 1916 года одна из фирм приступила к производству свёрл Уаттса. Сверло Уаттса представляет собой просто-напросто треугольник Рело, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены ржущие кромки.

Рис.22 Сверло Уаттса

5.2 Применение в автомобильных двигателях

Треугольник Рело используется и в автомобильных двигателях (рис.23, 24). Сконструировал этот роторно-поршневой двигатель в 1957 году немецкий инженер Ф. Ванкель, немецкий инженер и изобретатель(1902-1988). Внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело. Он вращается так, что три его вершины находятся в постоянном контакте с внутренней стенкой корпуса, образуя три замкнутых объёма, или камеры сгорания.

Фактически каждая из трёх боковых поверхностей ротора действует как поршень.

Рис.23 Схема двигателя

При вращении ротор внутри корпуса объём трёх боковых создаваемых им рабочих камер постоянно изменяется, действуя как насос. Ротор–поршень установлен свободно на эксцентрике вала и соединён с зубчатым колесом с внутренними зубьями, обкатывающимися вокруг неподвижной шестерни с наружными зубьями, ось которой совпадает с осью эксцентрикового вала. Двигатель Ванкеля имеет множество преимуществ перед обычным ДВС: РПД значительно компактней и легче, поэтому, при установке его на автомашину, центр тяжести оказывается значительно ниже, а устойчивость автомобиля – выше. В традиционном четырёхтактном поршневом двигателе один и тот же цилиндр используется для разных процессов – впуска, сжатия, сгорания и впуска. Но роторный двигатель позволят осуществлять каждый из этих процессов в разных частях корпуса. Каждый процесс как бы происходит в отдельном цилиндре. В поршневом двигателе давление расширения, возникающее при сгорании топливовоздушной смеси, заставляет поршни двигаться вверх-вниз внутри цилиндров.

Рис. 24

Шатуны и коленвал преобразуют это возвратно-поступательное движение во вращательное движение, необходимое для перемещения автомобиля. В роторном двигателе отсутствует преобразуемое возвратно-поступательное движение. Давление образуется в камерах, создаваемых различными. Каждое отдельное сгорание происходит в течение 90-градусной фазы вращения ротора, т.е. в течение 270-градусной фазы вращения выходного вала.

Рис. 25 Двигатель Ванкеля

Одноцилиндровый поршневой двигатель выдает мощность только в течение одной четверти каждого оборота выходного вала. Роторный двигатель имеет меньшее количество движущихся частей по сравнению с аналогичным четырехтактным поршневым двигателем. Двухроторный двигатель имеет три основные движущиеся части: два ротора и выходной вал. Даже самый простой четырехцилиндровый поршневой двигатель имеет как минимум 40 движущихся частей, включая поршни, шатуны, распредвал, клапаны, пружины клапанов, качалки, ремень ГРМ, распределительные шестерни и коленвал.

В середине 60-го РПД был впервые смонтирован на серийную малолитражку NSU Prince. После доводки конструкции, осенью 1963 года, свет увидела первая серийная машина с двигателем Ванкеля - NSU Prince Spyder. Но выпускалась она не долго. Сначала фирму NSU поглотила более крупная компания, а затем и сам РПД не выдержал жесткой конкуренции с "поршневиками".

 Скачать реферат