Теория игр и статических решений

ПL’(w*,l)= 3.5L-0.5 – w* = 0 при L*=.

То есть при установлении профсоюзом уровня з/п в значение w* фирма примет решении о найме рабочей силы в значение L*=.

Максимизируем теперь функцию совокупной прибыли членов профсоюза u(w,L)=wL-4*L2

Подставим в функцию

найденное на предыдущем шаге значение L*.

u(w,L*)=wL*4*L*2=

. , откуда .

Решение игры: .

c) В данном случае сначала фирма устанавливает уровень з/п. После чего профсоюз принимает решение о количестве занятых, максимизируя свою прибыль. Предположим, что фирма приняла решение об уровне з/п равным w*.

Тогда прибыль членов профсоюза будет определяться: u(w*,L)=w*L-4*L2. Профсоюз максимизирует свою прибыль, варьируя значение L.

, откуда максимизирующий прибыль сотрудников профсоюза уровень занятости определяется как . Подставим это значение в функцию прибыли фирмы:

П(w, L*)=7*L*0.5-wL*=. Пw’(w, L*)==0 при .

Соответственно .

Решение игры: (;).

5. В этой игре с нулевой суммой найдите равновесие в осторожных стратегиях. Существует ли в этой игре равновесие по Нэшу в чистых стратегиях?

Решение:

Игра антагонистическая, значит можем найти MinMax и MaxMin и сравнить их.

MaxMin = Max (2, 0, -3) = 2 и соответствует s1.

MinMax = Min (6, 2, 4, 9, 4) = 2 и соответствует c2.

Получаем, что MinMax = MaxMin = 2, следовательно в игре существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях и соответсвует (s1, c2).

6. На корабле 50 пиратов делят 100 кусков золота по следующему правилу: первым дележ предлагает капитан. Если хотя бы половина команды (включая капитана) согласна, то на этом игра и заканчивается. Если нет, то капитана выбрасывают за борт и дележ предлагает следующий по старшинству и т.д. Найдите совершенное подыгровое равновесие в этой игре.

Решение:

Будем использовать метод обратной индукции. Упорядочим всех пиратов по старшинству.

1. Предположим, что остался один пират. Тогда он предложит отдать все куски золота ему, с чем согласится и получит все золото.

2. Осталось 2 пирата. Чтобы старшему пирату заполучить все золото, ему нужно набрать один голос. Соответственно он предложит все золото отдать ему, согласится и получит все золото. Исход игры не зависит от того, согласен с этим решением или не согласен второй пират.

3. Осталось 3 пирата. Чтобы получить одобрение плана и остаться в живых самому старшему пирату необходимо получить 2 голоса. Второй пират знает, что он может получить все золото, если останется он и еще один пират. Потому он всегда будет голосовать против. Остался самый младший пират. Он также знает, что если останутся 2 пирата, то он не получит ничего. Если же в текущем дележе ему достанется хотя бы один кусок голоса, то он проголосует за дележ. Потому в условиях, когда осталось 3 пирата старший предлагает самому младшему один кусок золота, а все остальное оставляет себе. При таком дележе он точно получит 2 голоса: свой и самого младшего пирата.

4. Осталось 4 пирата. Для принятия плана дележа вновь необходимо заполучить 1 дополнительный голос, помимо своего. При этом все пираты понимают, что если останется 3 пирата, то дележ будет осуществлен в соответствии с п.3, в котором самый младший пират получает 1 кусок золота второй по старшинству не получает ничего. Если второму по старшинству пирату предложить хотя бы один кусок золота, то он проголосует за этот план, т.к. его выигрыш больше. Необходимое количество голосов будет набрано и остальным пиратам можно не платить ничего, и от их вариантов голосования ничего не зависит. Соответственно дележ будет таким: самому младшему пирату не достается ничего, второму отдается 1 кусок золота, третьему ничего, а четвертый (самый старший из оставшихся) получает 99 кусков золота.

5. Осталось 5 пиратов. Необходима поддержка двух дополнительных голосов. На предыдущем шаге ничего не получают самый младший и третий пираты и они это понимают. Потому предложить им более выгодные условия и получить поддержку их голосов. Поступаем в соответствии с п 3. – отдаем самому младшему и третьему по старшинству пирату по 1 куску золота. Остальные 98 оставляем себе. Они проголосуют за дележ, т.к. в противном случае не получат ничего.

6. Продолжая индукцию, принимая во внимание, что 50 – четное число, получаем, что капитан должен предложить следующий вариант дележа: самый младший пират не получает ничего, второй по старшинству получает 1 кусок золота, третий снова не получает ничего, четвертый получает 1 кусок золота и т.д. Итого 24 куска золота. Остальные 76 оставить себе. Итого он получит 25 голосов в поддержку, включая свой. Никому из пиратов, проголосовавших за дележ не выгодно менять стратегию, т.к. при смене он не получит ничего.

Итак, капитан предлагает описанный выше план дележа золота.

Соответственно совершенным подыгровым равновесием будет следующий набор стратегий:

 Скачать реферат