Алгебра и начало анализа

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где , достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства прибавить . Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы получаем равносильное урав

нение = - q . Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом: стоит вместо x и - q - вместо m. Находим = . Отсюба х = - . Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если < q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если = q . Возращаемся к обычному виду . 1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q . 2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 = -р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b. Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством. Свойства логарифмов:

1. ;
2. ;
3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей: . Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством: x = , y = . Перемножим почленно эти равенства, получаем: xy = = . Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя: . Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания: . При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным логарифмическим тождеством.

№ 22

1. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: .
2. Из определения производной следует, что функция может иметь производную в точке х0 только в том случае, если она определена в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке является непрерывность функции в этой точке.
4. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен . В этом состоит геометрический смысл производной.
5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют: .
2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные дифференцируемы в этой точке и .
3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и .
4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в точке х0 и .

 Скачать реферат