Алгебраические системы замыканий

Аналогично доказываются эти свойства для Y 1Y 2.

Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.

Пример 4.2: В кольце A каждому его подмножеству X отвечает (левый) аннулятор, состоящий из тех элементов aA, для которых a∙x= 0 для ка

ждого x из X:

Ann Х = {aA|xX a∙x = 0}.

Для подмножества X множества A определим подмножество X* множества A равенством

X* = {aA | a∙x = 0 для всех xX} = Ann Х

и аналогично для любого идеала I кольца A определим подмножество I* множества A равенством

I* = {xA | a∙x = 0 для всех aI} = Ann I.

Заметим, что в этом примере Ф = {(a, b)A2 | a∙b = 0}.

Таким образом, построены отображения XX* = Ann Х, II* = Ann I. Проверим, является ли построенное соответствие соответствием Галуа.

1) Пусть X1X2. Тогда X1Ann Х1 = {aA | a∙x = 0 для всех xX1} и X2Ann Х2 = {aA | a∙x = 0 для всех xX2}. Пусть aAnn Х2, aХ2 = 0, X1X2aХ1 = 0aAnn Х1. Следовательно, AnnХ1AnnХ2 или X1*X2*. Для I1I2 аналогично получаем I *1I *2.

2) Поставим множеству X в соответствие множество X* = Ann Х = I, а X* поставим в соответствие I* = Ann I = Ann(Ann Х). Если xХ, тогда a∙x = 0 для aAnn Х xAnn(Ann Х). Следовательно, XX**.

Аналогично получаем II**, если поставить множеству I в соответствие множество I* = Ann I = X, а I * поставить в соответствие X* = Ann X = Ann(Ann I).

Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.

Пример 4.3: В группе G каждому подмножеству A соответствует централизатор C, который состоит из всех элементов c, коммутирующих с каждым элементом a из A:

C = {cG: для всех aA a · c = c · a}.

Пример 4.4: В евклидовом пространстве V каждому подмножеству A множества V отвечает множество, состоящее из всех векторов, ортогональным векторам из A:

A= {aA: для всех xV xa},

так что определена связь Галуа для подмножеств V. Здесь xa означает равенство 0 скалярного произведения (x, a).

Последние два примера обосновываются аналогично примеру 4.2.

Чтобы установить связь соответствий Галуа с системами замыканий, заметим, что при любом соответствии Галуа отображение XX** будет оператором замыкания в A, а YY** оператором замыкания в B (в силу (7) – (9)). При этом отображения XX*, YY* определяют взаимно однозначное соответствие между двумя этими системами замыканий.

Чтобы иметь более непосредственное описание алгебраических систем замыканий, нам необходимо еще одно определение.

Определение 8. Непустая система D подмножеств множества A называется индуктивной, если каждая цепь в D обладает точной верхней гранью в D.

В силу предложения 2 (примененного к B (A)) слово «цепь» здесь можно заменить словами «направленное множество».

Таким образом, мы получили следующую характеризацию алгебраических систем замыканий:

Теорема 3. Система замыканий является алгебраической тогда и только тогда, когда она индуктивна.

Доказательство:

∆ Пусть D − алгебраическая система замыканий на некотором множестве, K − цепь в D и K = sup K. Для доказательства включения KD нужно только проверить, что (H)K для каждого конечного подмножества H множества K. Пусть H={x1, …, xn}; тогда каждое xi принадлежит некоторому члену цепи K, а так как K − цепь, то можно найти член LK, содержащий все xi. Тогда H LK и LD; следовательно, (H)(L) = LK, то есть (H)K, что мы и хотели показать.

Обратно, пусть D – индуктивная система замыканий на A и  – соответствующий оператор замыкания. Нужно показать, что для любого XA

 Скачать реферат