Законы больших чисел

Примеры. а) Рассмотрим последовательность независимых бросаний симметричной кости. Пусть k — число очков, выпавших при k-м бросании. Тогда

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,

a D(k)=(12+22+32+42+52+62

)/6-(3.5)2=35/12 и Sn/n

является средним числом очков, выпавших в результате n бросаний.

Закон больших чисел утверждает: правдоподобно, что при больших п это среднее окажется близким к 3,5. Центральная предельная теорема устанавливает вероятность того, что |Sn — 3,5n | < (35n/12)1/2 близка к Ф() — Ф(-). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф(0)— Ф(—0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

б) Выборка. Предположим, что в генеральной совокупности,

состоящей из N семей, Nk семей имеют ровно по k детей

(k = 0, 1 .; Nk = N). Если семья выбрана наугад, то число детей в ней является случайной величиной, которая принимает значение с вероятностью p=N/N. При выборе с возвращением можно рассматривать выборку объема n как совокупность n независимых случайных величин или «наблюдений» 1, ., n, которые имеют все одно и то же распределение; Sn/n является средним значением выборки. Закон больших чисел утверждает, что для достаточно большой случайной выборки ее среднее значение будет, вероятно, близким к, т. е, к среднему значению генеральной совокупности. Центральная предельная теорема позволяет оценить вероятную величину расхождения между этими средними значениями и определить объем выборки, необходимый для надежной оценки. На практике и и обычно неизвестны; однако в большинстве случаев удается легко получить предварительную оценку для и всегда можно заключить в надежные границы. Если мы желаем, чтобы с вероятностью 0,99 или большей среднее значение выборки Sn/n отличалось от неизвестного среднего значения генеральной совокупности менее, чем на 1/10, то объем выборки должен быть взят таким, чтобы

(1.4)

Корень х уравнения Ф(х) — Ф(— х) = 0,99 равен х = 2,57 ., и, следовательно, n должно быть таким, что 2,57 или n > 660. Осторожная предварительная оценка дает возможность найти необходимый объем выборки.

в) Распределение Пуассона.

Предположим, что случайные величины k имеют распределение Пуассона {p(k;)}. Тогда Sn имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием и дисперсией, равными n.

Написав вместо n, мы заключаем, что при n

(1.5)

Суммирование производится по всем k от 0 до . Ф-ла (1.5) имеет место и тогда, когда произвольным образом.

Доказательство закона больших чисел

Проведем это доказательство в два этапа. Сначала предположим, что существует, и заметим, что в этом случае D(S„)по теореме о дисперсии суммы. Согласно неравенству Чебышева, при любом t > 0

(2.1)

При t > n левая часть меньше, чем, а последняя величина стремится к нулю. Это завершает первую часть доказательства.

Отбросим теперь ограничительное условие существования D(). Этот случай сводится к предшествующему методом усечения.

Определим два новых набора случайных величин, зависящих от , следующим образом:

Uk=, Vk=0, если (2.2)

Uk=0, Vk=, если

Здесь k=1,… , п и фиксировано. Тогда

=Uk+Vk (2.3)

при всех k.

Пусть {f(j)} — распределение вероятностей случайных величин (одинаковое для всех j). Мы предположили, что = M() существует, так что сумма

(2.4)

конечна. Тогда существует и

(2.5)

где суммирование производится по всем тем j, при которых . Отметим, что хотя и зависит от п, но оно одинаково для

 Скачать реферат