Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

Определение 2.3. Если стремится к , оставаясь все время больше его, и при этом стремится к , то это число называется пределом функции

справа и обозначается .

Необходимо иметь в виду, что не всегда пределы слева и справа в точке равны между собой.

3. Второй замечательный предел

Рассмотрим числовую последовательность , где , С ростом основание степени уменьшается до единицы, а показатель растет до бесконечности, поэтому ничего конкретного о поведении сказать нельзя. Для вычисления воспользуемся выражением для бинома Ньютона:

.

В нашем случае

.

Из полученного выражения следует, что с увеличением величина растет. Действительно, перейдем от к . Это приведет к тому, что число слагаемых возрастет на одно. Кроме того, величина множителей, заключенных в скобки, тоже возрастет, так как . Но если увеличивается число слагаемых и сами слагаемые растут, то . Значит, числовая последовательность монотонно возрастает.

Докажем теперь, что данная последовательность ограничена сверху. Заменим все скобки вида единицей. Так как , то

.

Кроме того , , ., . Значит,

.

В правой части неравенства после цифры 2 стоит убывающая геометрическая прогрессия. Как известно, сумма первых членов такой прогрессии равна: . В нашем случае . С ростом величина будет, очевидно, стремится к единице. Значит, , то есть, ограничено сверху.

Итак, мы получили, что . Но так как монотонно возрастающая последовательность ограниченная сверху, то она имеет предел:

Можно доказать, что данный предел справедлив не только для натуральных чисел, но и для любых значений :

.

Полученное выражение и называется вторым замечательным пределом.

Число используется для введения натуральных логарифмов. Такие логарифмы обозначаются , при этом .

Следствие 3.1.

.

В частности, если , то .

Следствие 3.2.

.

В частности, если , то .

4. Сравнение бесконечно малых величин

Как следует из определения бесконечно малых величин, все они стремятся к нулю, но скорость этого стремления может быть различна. Поэтому все бесконечно малые величины можно сравнивать между собой.

Пусть даны две бесконечно малые величины и при , то есть , .

Определение 4.1. Функции и называются бесконечно малыми величинами одного порядка малости, если .

Определение 4.4. Функция называется бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем , если .

Определение 4.3. Функция называется бесконечно малой величиной более низкого порядка малости, чем , если .

Тот факт, что , например, имеет более высокий порядок малости, чем , можно обозначить следующим образом: .

 Скачать реферат