Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.

Вариант 2

№ 2

Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:

а) только одного устройства;

б только двух устройств;

в) всех трёх устройств.

Обозн

ачим события: А – срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С – срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда

а) Р(А) = p1q2q3 + q1p2q3 + q1q2p3 = 0,9∙0,05 ∙0,15 + 0,1∙0,95∙0,15 + 0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525.

б) Р(В) = p1p2q3 + p1q2p3 + q1p2p3 = 0,9∙0,95∙0,15 + 0,9∙0,05∙0,85 + 0,1∙0,95∙0,85 = 0,24725.

в) Р(С) = р1р2р3 = 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675.

№ 12

В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.

По условию n = 50, k = 3. Поскольку р малó, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: .

Таким образом,

№ 22

По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).

Последовательно получаем:

5

М(Х) = ∑ хірі = 2∙0,25 + 3∙0,15 + 4∙0,27 + 5∙0,08 + 8∙0,25 = 4,43.

i=1

5

D(X) = ∑ xi²pi – M² = 2²∙0,25 + 3²∙0,15 + 4²∙0,27 +5²∙0,08 + 8²∙0,25 – 4,43² і=1

= 5,0451.

σ(Х) = √D(X) = √5,0451 = 2,246.

№ 32

Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) Þ P= F(1) – F=

Графики функций приводятся далее.

№ 42

Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 5; β = 14; а = 9; σ = 5.

Используя формулу имеем

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

№ 52

По данному статистическому распределению выборки

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

где С – одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 0,4).

Пусть С = 8,8. Тогда

Заполним таблицу:

 Скачать реферат