Методика обучения элементам теории вероятностей на факультативных занятиях в общеобразовательной школе

В курсе также рекомендуется рассказать школьникам о так называемом персоналитическом методе оценки вероятности, когда эксперты исходя из своей интуиции, дают личную оценку вероятности событий. Примерами таких оценок являются вероятностные прогнозы исходов соревнований, публикуемые в спортивных изданиях.

Такие прогнозы, как правило, не поддаются проверке, поскольку, например, невозможно пров

ести большое число футбольных матчей между двумя командами в одинаковых условиях.

Обобщая все вышеизложенное, можно сказать, что в начале курса учащиеся должны:

1) познакомится с понятиями случайных исходов испытаний, научится определять множество исходов единичных испытаний и исходы, благоприятствующие наступлению конкретных случайных событий;

2) познакомится с понятиями статистической частоты и вероятности, с методом оценки вероятности через статистические испытания;

3) научится вычислять вероятности исходов и событий по формулам (1) и (2).

Далее изучаются серии из двух единичных испытаний: два подбрасывания монеты, последовательное извлечение двух шаров из урны, два выстрела по мишени и т.д. В рассматриваемом курсе серии испытаний называются совместимыми испытаниями, а их результаты – исходами совместных испытаний. Совместные испытания разделяются нанезависимые и зависимые. Эти понятия вводятся на простых примерах урновых испытаний с возвращением и без возвращения шара в урну.

В урне три шара с номерами 1,2 и 3. Из урны последовательно извлекают два шара. Эти испытания можно проводить двумя способами.

Ι способ: извлекают первый шар (первое испытание), записывают его номер, шар кладут обратно в урну. Затем шары перемешивают в урне и извлекают второй шар (второе испытание). В этом случае результаты испытаний никак не влияют друг на друга, и такие испытания называются независимыми.

ΙΙ способ: извлекают первый шар, но в урну его не возвращают, а сразу за ним извлекают второй шар. В этом случае исходы второго испытания зависят от того, какой исход имел место в первом испытании. Если, например, в первом испытании извлекли шар №2, то во втором испытании этот шар появится уже не может. Такие испытания называются зависимыми.

Зависимость испытаний друг от друга приводит к зависимости исходов и событий, которые могут произойти в этих испытаниях.

Если проводятся два независимых друг от друга испытания, и в первом испытании возможно наступление события А, а во втором – события В, то события А и В – независимые. В этом случае для них справедлива теорема умножения вероятностей:

P(A,B)=P(A)*P(B). (3)

Для примера снова обратимся к урновым испытаниям, описанным выше, с возвращением шара в урну.

Пусть событие А – первым достали шар №1.Это событие связано с первым испытанием и его вероятность равна

Пусть событие В – вторым достали шар №2. Это событие связано со вторым испытанием и его вероятность также равна

Первое и второе испытания независимые, поэтому события А и В – независимые, и вероятность, что они произойдут вместе, согласно формуле (3), равна

Если же проводятся зависимые испытания, и второе испытания зависит от первого испытания, то событие В зависит от события А. В этом случае для события В вводится условная вероятность и теорема умножения вероятностей принимает вид:

P(A,B)=P(A)* (4)

Таким образом, в урновых испытаниях без возвращения шара в урну событие В(вторым достали шар №2) зависит от события А(первым достали шар №1), а вероятность рассчитывается по формуле (4).

Формулы (3) и (4) позволяют вычислять вероятности исходов совместных испытаний. Эти исходы представляют собой возможные комбинации исходов единичных испытаний, записанные в определенном порядке.

Вероятность любого события, которое может произойти в совместных испытаниях, равна сумме вероятностей всех комбинаций, которые благоприятствуют этому событию. А это означает, что вероятностные задачи на совместные испытания можно сводить к построению множества исходов этих испытаний и вычислению вероятностей исходов по формулам (3) и (4). Если все исходы испытаний и их вероятности известны, то найти вероятность интересующего события не составляет труда. В настоящем курсе учащиеся учатся определять множество исходов совместных испытаний, строя таблицы исходов и вероятностные графы.

Таблицы исходов строятся для независимых испытаний.

Пример 5. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадения для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Чему равна вероятность поражения мишени?

Решение. Пусть событие А – мишень поражена, а исход П – попадание в мишень, исход М – промах. Тогда множество исходов двух совместных испытаний (выстрел по мишени каждым из стрелков) содержит четыре элемента (рис.5).

Рис. 5.

Составим таблицу исходов этих испытаний.

В первый столбец таблицы записаны исходы выстрела первого стрелка, а в первую строку – исходы выстрела второго стрелка. Остальные клетки таблицы заполняются комбинациями исходов единичных выстрелов. Вероятность этих комбинаций (исходов совместных испытаний) подсчитывается по формуле (3). Затем определяются, какие комбинации благоприятствуют событию А, и складываются вероятности этих комбинаций:

Р(А)=р(П,М)+р(М,П)+р(П,П)=0,14+0,24+0,56=0,94.

Задачи на зависимые совместные испытания решаются построением вероятностных графов.

Пример 6. Из урны, где лежат три белых и четыре черных шара, наугад без возвращения один за другим извлекают два шара. Какова вероятность того, что извлекут разноцветные шары?

Решение. Пусть событие А – извлечение разноцветных шаров, исход Ч – извлечение черного шара, Б – извлечение белого шара.

В урне 7 шаров. (Ч,Ч)

Извлекают (Ч,Б) А

Ч Б первый шар.

В урне 6 шаров. (Б,Ч)