Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы "Логарифмические уравнения"

3 часа в неделю во втором полугодии.

II - 3 часа в неделю, всего 102 часа.

III - 4 часа в неделю, всего 136 часов.

А.Г. Мордкович (11 класс)

3 часа в неделю, всего 102 часа.

Н.Я. Виленкин (11 класс)

5 часов в неделю, всего 170 часов.

Сравнительный анализ содержания школьных учебников по теме

Логико-дидактический анализ представляет последовательность действий: определение цели обучения теме; логический и математический анализ содержания темы (теоретического и задачного материала); постановка основных учебных задач и выбор соответствующих учебно-познавательных действий; отбор основных средств, методов и приёмов обучения; определение форм контроля и оценки процесса и результата учебной деятельности учащихся.

Логический анализ темы, прежде всего, сводится установлению логической организации учебного материала в ней с учётом специфики аксиоматического метода. Математический анализ сводится к выяснению основной математической идеи темы (ответ на вопрос, о чём в этой теме узнаем), к выяснению математических обоснований выполняемых преобразований, исследований, доказательств, к осмыслению применяемых в теме математических методов и приёмов. Результатом выполнения логико-математического анализа будет определение "ядерного" материала, логической строгости его изучения и математических методов и приёмов изучения этого материала. На основе логико-математического анализа теоретического материала темы выполняется анализ математических задач. Результатом анализа математических задач будет в каждой теме своя типология; основные задачи, которые необходимо решать в классе; методическое отношение к остальным задачам.

Проведём логико-математический анализ темы "Логарифмические уравнения" в различных школьных учебниках. С этой целью выясним:

какие новые понятия рассматриваются, даются ли им определения;

какие новые утверждения изучаются, что они отражают, каковы основные идеи доказательств;

какие новые виды задач и примеров рассматриваются в объяснительном тексте, каково их назначение, приводятся ли алгоритмы их решения;

какие задачи приводятся в задачном материале пункта.

Проанализируем пункты этих учебников в отдельности.

В учебнике А.Н. Колмогорова тема "Логарифмические уравнения" объединена с логарифмическими неравенствами в пункте "Решение логарифмических уравнений и неравенств". Сразу (без определения) даётся простейшее логарифмическое уравнение и рассматриваются его свойства на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что его решением является . Затем рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений и неравенств.

В учебнике С.М. Никольского тема "Логарифмические уравнения" выделена отдельным пунктом. Логарифмическое уравнение вводится следующим образом:

"Пусть a - данное положительное, не равное 1 число, b - данное действительное число. Тогда уравнение

называют простейшим логарифмическим уравнением".

далее в параграфе рассматриваются различные примеры решения уравнений.

В учебнике Н.Я. Виленкина данная тема разбита на два пункта и рассматривается одновременно с логарифмическими неравенствами:

"Простейшие логарифмические уравнения и неравенства", где вводится понятие логарифмического уравнения, корня уравнения и рассматриваются простейшие примеры:

"Простейшим логарифмическим уравнением (т.е. уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , . Так как равенство равносильно равенству , то получем:

Если , то корень уравнения равен ".

"Решение логарифмических уравнений и неравенств", где формулируется теорема:

Уравнение , где , , равносильно системе:

состоящей из уравнения и двух неравенств.

Даётся краткий алгоритм для решения логарифмических уравнений:

Для решения уравнения при , нужно:

1) решить уравнение f (x) =g (x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 (или, то же самое, неравенству g (x) >0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.

Далее рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений, но в данном учебнике они более сложные.

В учебнике А.Г. Мордковича тема "Логарифмические уравнения" выделена отдельным пунктом. Понятие логарифмического уравнения дано следующим образом:

"Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

,