Использование мультимедийных средств при изучении свойств степенной функции в общеобразовательной школе

Автор делает вывод о том, что график любой степенной функции похож на график функции , и отмечает, что кривая асимптотически приближается к осям координат.

Функция

В этом случае рассматриваются степенные функции с отрицательным целым показателем (нечетным): и т. д. Автор напоминает, что одну такую функцию уже изучили в 8-м классе – это . Напоминаются ее свойства и график (гипербола), и делается вывод о том, что график любой функции похож на гиперболу.

В § 19 дается понятие корня n-й степени из действительного числа и, в частности отмечается, что из любого неотрицательного числа можно извлечь корень любой степени (второй, третьей, четвертой и т. д.), а из отрицательного числа можно извлечь корень любой нечетной степени.

В § 20 говорится о функции заданной при , исследуются ее график и свойства на частном примере (при ). По рисунку, на котором изображены график функции и график функции , определяется и, затем, подтверждается аналитически симметрия этих графиков.

Далее автор формулирует общий вывод о том, что при график функции симметричен графику функции относительно прямой и, из соображений симметрии, выводит свойства функции при .

В этом же параграфе рассматривается функция в случае нечетного для любых значений . Говорится о свойствах данной функции и строится график.

Вывод

если – четное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 1;

если – нечетное число, то график функции имеет вид, представленный на рис. 2.

рис. 1

рис. 2

В § 24 рассматривается функция вида , - любое действительное число (ограничиваемся случаями рационального показателя ).

Автор напоминает, что целый ряд таких функций уже изучили:

Если – натуральное число , то получаем функцию (графики и свойства известны)

Если , то получаем функцию , т. е. . В случае четного график имеет вид, изображенный на рис. 3а, в случае нечетного график имеет вид, изображенный на рис. 3б

рис. 3а рис. 3б

Если , т. е. речь идет о функции , то это функция, где

Далее рассматривается пример функции , исследуются ее свойства (с учетом того, что показатель степени данной функции 2 < 2,5 < 3) и строится график.

Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции вида , где:

- неправильная дробь (числитель больше знаменателя). Ее графиком является кривая, похожая на ветвь параболы. Чем больше показатель , тем «круче» устремлена эта кривая вверх. Строится график и приводятся свойства.

- правильная дробь () (§ 20). Строится график и приводятся свойства.

()

Строится график и приводятся свойства.

В задачнике “Алгебра. Углубленное изучение. 9 класс.” Завича Л. И., Рязановского А. Р. представлена разнообразная система упражнений. Сложность заданий повышается по мере возрастания их порядковых номеров. Задачник содержит большое количество разнообразных упражнений на построение графиков различных видов степенной функции, исследовании и применении ее свойств.

Например:

№ 17.05. Постройте на одном чертеже графики функций