Использование ключевых задач в процессе обучения школьников решению задач по геометрии

SBOC=.

Тогда SABC=

Ответ: .

Задача 2. В треугольника АВС АА1 и СС1 – медианы, причем АА1=5, src="images/referats/29382/image013.png">, . Найдите площадь треугольника АВС.

Тогда

, ,

,.

Ответ: .

Задача 3. Медианы треугольника 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.

. Следовательно, .

Ответ:

Задача 4. Длины двух сторон треугольника 27 и 29. Длина медианы, проведенной к третьей стороне, равна 26. Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне длиной 27.

Пусть AB=29, AC=27, медиана AA1=26 (Рисунок. 2.6).

Чтобы найти высоту ВН достаточно знать площадь треугольника АВС. Чтобы найти площадь треугольника АВС достроим его до параллелограмма АВКС, продлив медиану АА1.

Тогда SABC=SABK=SABKC.

SABC=AC∙BH,

270=∙27∙BH,

BH=20.

Ответ: 20.

Длина медианы

Ключевая задача:

1. Докажите, что если стороны АВ, АС и ВС треугольника АВС равны соответственно с, b и а, то длина медианы, проведенной к стороне ВС, может быть вычислена по формуле

По теореме косинусов имеем:

Треугольник ABM (Рисунок. 2.7):

Сложим эти равенства, получим

Отсюда

2. Сумма квадратов медиан треугольника равна суммы квадратов его сторон.

Используя предыдущую ключевую задачу, получим:

3.

Сумма квадратов медиан прямоугольного треугольника, проведенных из вершин острых углов, равна квадрата его гипотенузы.

Пусть АМ, ВН – медианы △АВС (Рисунок. 2.8).

Из △АСМ:

Из △RAH:

Сложим равенство (1) и (2), получим

Задачи системы:

Задача 1. Найдите отношение суммы квадратов всех медиан треугольника к сумме квадратов всех его сторон.

Ответ: .

Задача 2.

1. Найдем АС, используя формулу длины медианы (Рисунок. 2.9):

2. Треугольник АВС – прямоугольный, так как

Следовательно,

Ответ: .