Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции

=0 отсюда следует, что производная в точке x=0 не существует.

y(0,3)= 10; y(2)= 1,5

Ответ:

№935(в)

y=+6 на [-1;4]

Решение:

D(y): xÎR

yˊ=4x-8 ;

4x-8=0 ; x=2

y(-1) = 16; y(2) = -2, y(4) = 6

Ответ:

№936(а)

y=2sin x на []

Решение:

D(y): xÎR

yˊ= 2cosx;

2cosx=0; x=πn, n ÎZ;

y()= -2; y()=2; ; y(π)=0;

Ответ:

№946(в)

y=tg x+x на []

Решение:

D(y): xÎR

yˊ=

=0; ;

cos x =1; x=2πn, n ÎZ; x=0

cos x = -1; x=2πn, n ÎZ

y() = ; y(0)=0;

Ответ:

3. Методика изучения темы нахождения наименьшего и наибольшего значения функции на интервале

На данном этапе обучения учащиеся уже накопили достаточный «багаж» знаний. Они умеют определять наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке с помощью графика функции, с использованием производной, а так же без помощи производной.

Но нам необходимо поставить перед ними задачу: как быть, если речь идёт о нахождении наибольшего или наименьшего значения функции непрерывной на незамкнутом промежутке, например, на интервале.

Для этого можно поступить следующим образом. Учащимся предлагается рассмотреть несколько функций. Например, тех, что представлены на рисунках 11, 12, 13:

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Выясняется, что все функции на заданных интервала непрерывны. По каждому графику определяется наибольшее или наименьшее значение функции. Причём каждая из этих функций имеет, внутри промежутка единственную критическую или стационарную точку. Так же отмечается, что 1) на рис.1 т.с является точкой максимума, а

2) на рис.2 т.с является точкой минимума, а

3) на рис.3 т.с является точкой минимума,

Таким образом мы подводим их к теореме (*):

Пусть функция у = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:

а) если х = х0 - точка максимума, то унаиб = f(x0) на промежутке Х;

б) если х = х0 - точка минимума, то унаим = f(x0) на промежутке Х.

Учащимися уже выведен алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, поэтому для них не составит особого труда самостоятельно вывести алгоритм нахождения и наименьшего значения функции на интервале. Можно предложить вывести данный алгоритм самостоятельно, а потом сравнить полученный алгоритм с тем, который даст учитель. Так же следует указать, что при составлении алгоритма, учащиеся обратили внимание на теорему, введённую перед этим.

Алгоритм должен быть следующий:

Найти область определения функции.

Найти производную функции.

Найти стационарные и критические точки, лежащие внутри заданного интервала.

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы.

Вычислить значение функции в полученных точках и выбрать среди них наибольшее и наименьшее.

После вывода алгоритма следует обратить внимание учащихся на то, в чём различия и сходства между двумя алгоритмами: на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и интервале.

После этого следует закрепить выведенный алгоритм примерами, подобными следующим:

Найти наибольшее значение функции y = на луче [0;+.

Решение:

D(y): xÎR

Тогда по теореме (*)

Ответ:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = на (- ∞;+∞).

Решение:

D(y): xÎR

yˊ== ;

х=0

х=0 – точка минимума

Тогда по теореме (*)

Ответ: , наибольшего значения функции не существует.

Методика обучения решению задач на оптимизацию