Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции

На странице книги печатный текст должен занимать 150 см2. Верхнее и нижнее поля страницы по 3 см, правое и левое – по 2 см. если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

2. Методика изучения темы «Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке»

математика задача функция урок

При составлении данной метод

ики я опиралась на учебник Мордковича А.Г.

К моменту введения данной темы учащиеся уже накопили некоторый опыт отыскания наибольшего и наименьшего значения функции. Чаще всего они использовали для этого график функции. Поэтому в начале изучения темы учащимся предлагается построить несколько графиков функции и по ним определить наибольшее и наименьшее значения функции. Например, функции могут быть такими

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Довольно легко можно определить, что наибольшее значение на рис.1 будет равняться, а наименьшее значение . На рис.2 наибольшее значение равняется 4, а наименьшее значение 0. На рис.3 наибольшее значение равняется 6, а наименьшее значение .

Далее можно несколько усложнить задачу и попросить найти наибольшее и наименьшее значения функции, не прибегая к построению графика. Для этого можно рассмотреть следующий график функции y =. В этом случае рассуждают так: ясно, что, значит (это значение достигается функцией в точке x=0). С другой стороны, ясно, что , значит yнаим=0 (это значение достигается функцией при x=3 или x=-3).

Так как обучение строится конкретно-индуктивным методом, мы должны подвести учащихся к следующему правилу:

Если известно, что на отрезке [a,b] функция f(x) монотонна, то наибольшее и наименьшее значение этой функции принимается в концах отрезка, а именно, если f(x) – возрастающая функция, то f(a) – наименьшее значение и f(b) – наибольшее значение функции f(x); если же если f(x) – убывающая функция, то f(a) – наибольшее значение и f(b) – наименьшее значение функции f(x).

Для этого вначале целесообразно рассмотреть конкретные примеры, с помощью которых учащиеся выйдут на это правило и смогут самостоятельно сформулировать его. Например, можно рассмотреть такую функцию как y=x2 для xÎ[0,1]. Выясняем, как ведет себя функция на отрезке: она непрерывная и возрастающая. Далее делаются выводы о том, что – наименьшее значения функции, – наибольшее значение функции. Целесообразно рассмотреть ещё ряд аналогичных примеров для лучшего понимания.

Далее задание опять несколько усложняется. Учащимся предлагается рассмотреть функцию y=f(x) заданную на отрезке [a,b] (см. рис. 5)

Рис. 5

Видно, что данная функция является непрерывной на отрезке, но не является монотонной. По рисунку определяется, что наибольшее значение функция имеет в точке x=x5, а наименьшее в точке x=a.

Приведя, таким образом, ряд примеров, мы подвели учащихся к тому, что наибольшее и наименьшее значение функция непрерывная на указанном отрезке может достичь в стационарных, критических точках, входящих в отрезок, а так же на концах отрезка. Далее вместе с учащимися составляется алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, и этот алгоритм закрепляется на примерах подобных следующим.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

f(x)=на отрезках: а) [-8;-1] б) [-1;1]

Решение. Функция f(x) определена на всей числовой прямой. Найдём fˊ(x):fˊ(x)=конечная производная fˊ(x) существует на всей числовой прямой, кроме x=0. Заметим, что fˊ(x)=0 приТаким образом, точки x1=0 и x2=являются критическими точками данной функции.

а) Пусть xÎ[-8;-1], тогда ни одна из критических точек не попадёт в этот отрезок. Так как для xÎ(-∞;0) производная данной функции fˊ(x)>0, то, следовательно, и для xÎ[-8;-1] fˊ(x)>0, т.е. функция f(x) возрастает на отрезке [-8;-1]. Из последнего следует, что её наименьшее значение на отрезке [-8;-1] будет при x= -8, т.е. , а наибольшее при x=-1, т.е.

б) Пусть теперь xÎ[-1;1], тогда обе критические точки принадлежат этому отрезку. Поэтому для нахождения на отрезке [-1;1] наибольшего и наименьшего значения функции следует рассмотреть значение функции f(x) в точках: x1=-1, x2=0, x3=x4=1:

f(1)=-3, f(0)=0, f() ≈-1,03 и f(1)=-1. Таким образом,

и

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

f(x)=на отрезке [0;3].

Решение. Найдём производную данной функции: fˊ(x)==

=.

Найдём критические точки: x1=1, x2=2.

Рассмотрим теперь значения данной функции в точках x1=0, x2=1, x3=2 и x4=3: f(0)=-3, f(1)=2, f(2)=1, f(3)=6. Далее из конечного множества чисел {-3,1,2,6} следует выбрать наименьшее и наибольшее, они и будут являться наименьшим и наибольшим значениями функции соответственно. Т.е. , a .

Конспект урока по теме «Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке»

Конспект урока написан с опорой на учебник Мордковича А.Г. “Алгебра и начала анализа 10-11”. На тему “Наибольшее и наименьшее значение функции” отводится 5 часов. Данный урок является первым в изучаемой теме.

Цели урока

Образовательные: вывести алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке; первичное закрепление полученных знаний в процессе решения несложных задач.

Развивающие: создать условия для развития практического и творческого мышления; развитие познавательного интереса учащихся; развитие алгоритмической культуры.

Воспитательные: создать условия для осознания учащимися ценности математических знаний, как средства познаний окружающего мира; воспитание устойчивого интереса к изучению математики.