Задачи на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции

Ученики: В критических точках, стационарных или на концах отрезка.

Учитель: А теперь перейдем от наглядного графического способа нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке к более абстрактному – аналитическому. Задана функция y = 3x2 – 6x + 5, требуется найти наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-3;5]. Ваши действия? Чтобы решение проблемы было дей

ственным, составим алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

2. Вывод алгоритма.

Учитель: Итак, мы сделали вывод, что функция может достигать наибольшего значения либо на концах отрезка, либо в критических или стационарных точках, принадлежащих этому отрезку. Как вы думаете, каким должен быть первый шаг алгоритма?

Ученики: 1. Найти критические точки заданной функции. (Записывают в черновиках).

Учитель: Найденные критические точки могут, как принадлежать заданному отрезку, так и не принадлежать. Все ли найденные критические точки будут нас интересовать? Как это скажется на следующем шаге алгоритма?

Ученики: Нет, нас будут интересовать только те критические точки, которые принадлежать заданному отрезку.

Второй шаг алгоритма: 2. Выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному промежутку.

Ученики: 3. Найти значение функции в выбранных критических точках и на концах отрезка.

Ученики: 4. Выбрать из найденных значений функции наибольшее и наименьшее.

Учитель: А теперь сравним составленный вами алгоритм с алгоритмом, вывешенным на доске (вывешивает алгоритм) и обсудим существенность их разницы.

Алгоритм отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции у=f(x) на отрезке [a;b]

Найти область определения функции.

Найти производную f`(x).

Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b]

Вычислить значения функции у=f(x) в точках, отобранных на предыдущем шаге, и на концах отрезка, выбрать среди этих значений наименьшее и наибольшее.

3. Первичное закрепление

Учитель: Итак, вернемся к функции y = 3x2 – 6x + 5, и попробуем найти её наибольшее и наименьшее значение на отрезке [-3;5], опираясь на составленный алгоритм. Учитель сам показывает образец решения, ученики записывают решение в тетради.

Запись решения:

D(y): xÎR

yˊ= 6x – 6;

а) Точек в которых производная не существует – нет. б) Найдем точки в которых производная равна нулю:

6х-6=0;

х=1;

1Î[-3;5]

y(-3)=27+18+5=50;

y(5)=75-30+5=50;

y(1)=3-6+5=8.

Ответ:

4. Работа по учебнику.

Учащиеся вместе с учителем решают пример №934(б): найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке.

y=на []

Решение:

D(y): x ≠0

yˊ=

=0 отсюда следует, что производная в точке x=0 не существует.

y()= -32; y(8)= -1

Ответ:

№ 935 (б) – самостоятельно с проверкой по отвороту. В ходе решения опираются на алгоритм, могут обращаться за помощью к соседу и учителю. После нахождения критических точек показать результат учителю или соседу по парте, если его уже проверил учитель.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке: y=-3 на [0;2]

Решение:

D(y): xÎR

yˊ= 2x+4;

2x+4=0; x=-2; -2 ∉[0;2]

y(0)= -3; f(2)= 9

Ответ:

№936(б)- по желанию у доски

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке: y= -2cosx на [-2 π;]

Решение:

D(y): xÎR

yˊ= 2sinx;

2sinx=0; x=πn, n ÎZ;

y(-2π)= -2; y(-π)=2; y(0)=-2 ;y(π)=2; y()=0

Ответ:

Задание для всего класса, учащийся вызывается по журналу.

Сравните наибольшее значения функции на промежутке P1 и наименьшее её значение на промежутке P2: y=, P1=[-4;0], P2=[3;4]

Решение:

D(y): xÎR

yˊ= ;

=0; x1=3, x2= -1 [-4,0]

x1∉[-4,0], x2Î[-4,0]

y(-4)= 16; y(-1)=11; y(0)=0;

б) [3;4]

x1Î[3;4], x2∉[3;4]

4. y(3)=27, y(4)=80;

Ответ: ,

5. Подведение итогов.

Учитель: Чему вы научились сегодня на уроке? Верно, ли что на отрезке наименьшее значение функция принимает в точке минимума? Как найти наименьшее и наибольшее значение функции непрерывной на отрезке функции, если она имеет несколько критических точек? Не имеет критических точек?

Ученики: Сегодня мы научились находить наибольшее и наименьшее значение функции с помощью производной. Своего наименьшего значения функция может принимать не только в точке минимума, но так же в критических, стационарных точках и на концах заданного отрезка. Если функция имеет несколько критических точек, необходимо найти значение функции во всех критических точках и на концах отрезка и из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Если же функция не имеет критических точек, то необходимо проверить значения функции на концах отрезка и из полученных результатов выбрать наибольшее и наименьшее.

Учитель: Эти знания пригодятся вам на уроках геометрии при нахождении наибольшего объема, площади поверхности рассматриваемых фигур. Те, кто всерьез займется математикой, познакомятся с целой областью этой науки (вариационным исчислением), которая оперирует понятиями наибольшего и наименьшего значения функции. Ну а с практической значимостью, рассматриваемой темы, вы уже начали знакомиться, и мы продолжим на следующих уроках. А пока домашнее задание.

Домашнее задание.

Прочитать §32 п.1, выучить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке.

№934(г)

г) y=на [0,3;2]

Решение:

D(y): x ≠0

yˊ=;