Некоторые аспекты моделирования конкурентного равновесия

Доказательство этого утверждения предоставлено на рисунке.

Рис. 5. Иллюстрация к лемме 3.2.

Точка называется неподвижной точкой множественнозначного отображения F, определенного на X, если .

Приведем без доказательства теорему существования неподвижной точки.

Теорема (Какутани). Пусть – компактное, выпуклое множество, а F – полунепрерывное сверху отображение, которое каждой точке ставит в соответствие замкнутое, выпуклое подмножество . Тогда отображение F имеет неподвижную точку в X.

Доказательство существования равновесия в модели Эрроу-Дебре будет проведено с помощью леммы Гейла, которую сформулируем в терминах элементов рынка. Сначала пронормируем цены, поделив все pk на одну и ту же величину . Тогда пространство цен P превращается в стандартный симплекс, лежащий в неотрицательном ортанте :

Пронормировав таким образом цены переходим к другому масштабу цен. В данном случае преобразование пространства цен в стандартный симплекс преследует чисто технические цели.

Лемма (Гейла). Пусть S – ограниченное, полунепрерывное сверху множественнозначное отображение симплекса P в , удовлетворяющее условиям:

a) S(p) есть непустое выпуклое множество для всех ;

b) для всех . Тогда существуют такие и , что .

Условие b) означает, что для каждого множество не имеет общих точек с неположительным ортантом . Действительно, для любой точки и любого (рис. 6). При этих условиях лемма Гейла утверждает о существовании такого , что не пусто.

Рис. 6: Иллюстрация к лемме Гейла

Доказательство проведем от противного: пусть лемма не верна. Это означает, что ни для одного вектора множество S(p) не имеет общих точек с . Покажем, что в этом случае существует такое сколь угодно малое положительное число (не зависящее от p и z), что семейство выпуклых множеств также не касается неотрицательного ортанта (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к доказательству леммы

Действительно, если бы это было так, то существовала бы последовательность и точки , , для которых при (сходящаяся последовательность найдется, так как компактны и лежат в ограниченной области пространства ). Тогда из полунепрерывности сверху отображения S следуют соотношения и , что противоречит нашему предположению. Следовательно, семейство не пересекается с неотрицательным ортантом.

Тогда для каждого множества из этого семейства и положительного ортанта существует разделяющая гиперплоскость , такая, что для любого .

Построим множественнозначное отображение , где множество состоит из всех тех векторов симплекса P, которые представляют гиперплоскости, разделяющие положительный ортант и множество . Так как это семейство не касается с положительным ортантом, множество непусто. Отображение полунепрерывно сверху, как и отображение W (полунепрерывность последнего вытекает из его вида и аналогичного свойства S). Благодаря этому свойству отображения , множество выпукло и замкнуто, как и симплекс . Следовательно, отображение удовлетворяет всем условиям теоремы Какутани и потому имеет в P неподвижную точку . Но, согласно условию b) леммы, для этой точки справедливо неравенство при . Тогда для . Последнее противоречит неподвижности точки p0 в . Следовательно, наше первоначальное предположение приводит к противоречию, что и доказывает лемму.

 Скачать реферат