Некоторые задачи оптимизации в экономике

Теорема. Положительным (ненулевым) компонентам оптимального решения одной из взаимно двойственных задач соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи, т.е. для любых i=1,2,…,m и j=1,2,…,n: если >0, то =0; если >0, то=0, и аналогично, если >0, то =0; если >0, то=0.

□ Выразим дополнительные переменные из системы ограничений (3.11) исходной задачи I и (3.12) двойственной задачи, представленных в каноническом виде:

xn+i=bi-, i=1,2,…,m (3.13)

ym+j=-cj, j=1,…,n. (3.14)

Умножая каждое равенство системы (4.9) на соответствующие переменные уj≥0 и складывая полученные равенства, найдём

xn+iyi=biyi-yi (3.15)

Аналогично, умножая каждое неравенство системы (4.10) на соответствующие переменные xj≥0 и складывая полученные равенства, найдём

ym+j=yi-cj . (3.16)

Равенства (4.11)и(4.12) будут справедливы для любых допустимых значений переменных, в том числе и для оптимальных значений ,,, . В силу первой теоремы двойственности (3.10) F(X*) =Z(Y*) или =, поэтому из записи правых частей равенств (3.15) и (3.16) следует, что они должны отличаться только знаком. С другой стороны, из неотрицательности выражений xn+i yi и ym+j, входящие в выражения (3.15) и (3.16), следует, что правые части этих равенств должны быть неотрицательны.

Эти условия могут выполняться одновременно только при равенстве этих правых частей для оптимального значения переменных нулю:

=0,

=0. (3.17)

В силу условия неотрицательности переменных каждое из слагаемых в равенстве (4.13) должно равняться нулю:

=0, i=1,2,…,m

=0, j=1,2,…,n

Откуда и вытекает заключение теоремы. ■

Из доказанной теоремы следует, что введённое ранее соответствие между переменными двойственных задач представляет соответствие между основными (как правило не равными нулю) переменными одной из двойственных задач и неосновными (равными нулю) переменными другой задачи, когда они образуют допустимые базисные решения.

Рассмотренная теорема является следствием следующей теоремы.

Вторая теорема двойственности. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные её оптимального решения.

Метод, при котором вначале симплексным методом решается двойственная задача, а затем оптимум и оптимальное решение исходной задачи находятся с помощью теорем двойственности, называется двойственным симплексным методом. Этот метод бывает выгодно применять, когда первое базисное решение исходной задачи недопустимое или, например, когда число её ограничений m больше числа переменных n.

С помощью теорем двойственности найдём решение задачи II. Получаем следующий набор цен ресурсов ( ), при котором минимальные затраты составят 1330. [5]

4) Задача нелинейного программирования. (ЗНП)

Рассмотрим ЗНП и способы её решения. Математическая модель ЗНП в общем виде формулируется следующим образом:

f =(x1,x2, …,хn) → min (max). При этом переменные должны удовлетворять ограничениям:

g1(x1,x2, …,хn) ≤b1,

…………………………

gm(x1,x2, …,хn) ≤bm,

gm+1(x1,x2, …,хn) ≥bm+1,

…………………………

gk(x1,x2, …,хn) ≥bk,

gk+1(x1,x2, …,хn)=bk+1,

………………………

gp(x1,x2, …,хn)=bp.

x1,x2,…,хn ≥0, где хотя бы одна из функций f, gi нелинейная.

Для ЗЛП нет единого метода решения. В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений разработаны специальные методы решения, к которым относятся метод множителей Лагранжа, градиентные методы, приближённые методы решения, графический метод.

Рассмотрим основные идеи графического метода.

Максимум и минимум достигается в точках касания линии уровня с областью допустимых решений (ОДР), которая задается системой ограничений. Например, если линии уровня - прямые, то точки касания можно определить, используя геометрический смысл производной.

Рассмотрим на примерах решение ЗНП.

1. Найти экстремумы функции L(x1,x2)=x1+2x2 при ограничениях

, .

 Скачать реферат