Математическое моделирование в управлении

Рис.13.Проверка значимости.

Таким образом, выборочное уравнение регрессии имеет вид :

2. Математическая модель и решение задачи оптимального управления

Результатом статистического анализа показателей, характеризующих экономический процесс, являются оценки функций

регрессии случайных величин (показателей) на одну величину или систему случайных величин. Совокупность всех этих зависимостей является математическим описанием системы и законов перехода ее из одного состояния в другое. Принцип оптимального управления состоит в выборе таких значений показателей, при которых система начинает функционировать наилучшим образом.

Прежде всего, необходимо выбрать критерий оптимальности, т.е. функцию, значение которой должно достичь наибольшего (или наименьшего) из всех возможных в данной ситуации значений. С точки зрения статистического анализа это – один из результативных признаков. Управляемые переменные этой задачи оптимизации – факторные признаки, оказывающие воздействие на результативный признак. Факторные признаки также связаны между собой. Эта связь описывается оценкой функции регрессии одного из факторных признаков на другой факторный признак, полученной в результате регрессионного анализа статистических данных. Выбор таких связанных пар факторных признаков начинается с корреляционного анализа, где отправной точкой является достаточно большой коэффициент парной корреляции. При выборе управляемых переменных задачи следует учесть, что из тесно связанных факторных признаков, особенно с коэффициентом парной корреляции большем 0.5, только один воздействует на результативный признак самостоятельно, а воздействие другого является опосредствованным. Поэтому при выборе математической модели критерия оптимальности учитывается только один из них, а воздействие другого заложено в оценке функции его регрессии на первый фактор.

Оценки функций регрессии факторных признаков (управляемых переменных) друг на друга накладывают ограничения на их возможные значения. Но это не единственные ограничения. Необходимо учесть, что каждый из факторных признаков может принимать значения только в строго ограниченных пределах, которые вытекают из сути самого показателя.

В общем случае математическая модель задачи оптимального управления экономическим процессом, составленная в результате многомерного статистического анализа показателей, содержит:

– целевую функцию

y = f (x1,x2,…,xk) –

функцию регрессии результативного признака Y на факторные признаки X1,X2,…,Xk ;

– ограничения, определяющие область допустимых решений :

xj = φi (xi) , ( i, j = 1,2,…,k) –

функции регрессии факторного признака Xj на факторный признак Xi (i≠J);

, ( i = 1,2,…,k),

где и – нижняя и верхняя границы значений Xi .

Задача оптимизации формулируется следующим образом:

Найти такие значения управляемых переменных, удовлетворяющие всем ограничениям задачи, при которых целевая функция достигает искомого экстремального значения.

В общем случае задача является задачей нелинейного программирования, так как хотя бы одна из функций f (x1,x2,…,xk) или φi (xi) (i = 1,2,…,k) нелинейна относительно управляемых переменных.

Для рассмотренного примера математическая модель имеет вид:

Y2 =247,9641 – 930,3571*X4 + 73,538*X8 + 1009,39*X4^2 –

–4,44689*X8^2 –140,1884*X4*X8 ––> max

X5 = 2,4605*X7^3 – 10,061*X7^2+13,815*X7–5,6226

X6 = 18,481*X4^3– 15,579*X4^2+2,8223*X4+0,3562

X8 = -86,539*X7^4+518,28*X7^3-1141,3*X7^2+1098,8*X7-390,07

0,2<=X4<=0,5 0,6<=X5<=0,9

0 <=X6<=0,7 1 <=X7<= 2 0 <=X8<= 4

Для решения задачи нелинейной оптимизации следует воспользоваться надстройкой ExcelПоиск решения. Алгоритм необходимых действий для приведенной математической модели :

1. На рабочем листе Excel расположить исходные данные (см.рис.14).

2. В ячейки A1–E1 записать имена управляемых переменных, в ячейку G1 – имя целевой функции.

3. В ячейки A2 и E2 ввести значения 1, как значения переменных, вошедших в целевую функцию ( при решении нелинейных задач не рекомендуется задавать начальные нулевые значения), значения остальных переменных можно оставлять нулевыми .После окончания поиска решения в ячейках A1–E1 появятся оптимальные значения управляемых переменных, а в ячейке G2 –оптимальное значение целевой функции.

 Скачать реферат