Математическое моделирование экономических процессов на железнодорожном транспорте

, i,j = 1, 2, …, n. (3.3)

Формула 3.3 предполагает следующие допущения.

Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица А = (аij) постоянна.

Второе состоит в постулировании свойства линейности существующих технологий, т. е. для выпуска j-й отраслью любого объема

продукции Xj,- необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве аijXj,-, т. е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:

. (3.4)

Подставляя (3.4) в балансовое соотношение (3.2), получаем

(3.5)

или в матричной форме

. (3.6)

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов.

•Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X,-), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y,):

. (3.7)

• Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yi), можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (Xi):

. (3.8)

•Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

В формулах (3.7) и (3.8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (E-A)–1 – матрицу, обратную матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А) не равен нулю, т. е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В = (Е- А)–1 тогда систему уравнений в матричной форме (3.8) можно записать в виде

. (3.9)

Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции n-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. норма больше единицы.

Пример

Даны коэффициенты прямых затрат aij и конечный продукт Уi,- для трехотраслевой экономической системы:

Требуется:

1. Рассчитать все параметры межотраслевого баланса.

2. Заполнить схему межотраслевого баланса.

Для решения задачи можно воспользоваться формулой (3.5), которая считается основным математическим соотношением межотраслевого баланса. Для этого составляется и решается соответствующая система линейных уравнений для нахождения объемов валовой продукции по отраслям. После этого вычисляются по приведенным формулам все остальные параметры.

Средства EXCEL позволяют организовать вычислительную процедуру более эффективно, решая задачу в матричной форме на основе формулы (3.9). Решение будем осуществлять в окне EXCEL, представленном табл. 3.2. Вначале в ячейки В2:D4 внесем матрицу коэффициентов прямых материальных затрат. Далее рассчитаем величины Е – А.

Таблица 3.2

Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы В = (Е- А)-1 и введем формулу для вычислений MOБP(B6:D8). Затем следует нажать клавиши SHIFT+CTRL+ENTER. Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.

В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим диапазон В15:В17 для размещения вектора валового выпуска X, вычисляемого по формуле

X = (Е- А)– 1 ∙ Y.

Затем вводим формулу для вычислений МУМНОЖ (B10:D12,G10:G12). Затем следует нажать клавиши SHIFT+CTRL+ENTER.

Межотраслевые поставки Хij вычисляем по формуле

.

Заполняем схему МОБ (табл. 3.3).

Таблица 3.3

 Скачать реферат