Симплексный метод

Задание 2. Решить полученную задачу линейного программирования графическим методом.

Задание 3. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальное решение, используя теоремы двойственности.

Вариант 3.

Из 505 м2 ткани нужно сшить не более 150 женских и не более 100 детских платьев. На пошив одного женского и детского платья требуется соответственно 3 м2 и 1 м2 ткани. При реализ

ации каждого женского платья получают 10 ден. единиц прибыли, а детского – 5 ден. единиц. Сколько нужно сшить женских и детских платьев, чтобы получить наибольшую прибыль?

Решение.

Задание 1.

Обозначим x1 и x2 количество женских и детских платьев, соответственно (план пошива). Очевидно, x1,2 ³ 0 и целые. Так как женских платьев должно быть не более 150, то x1 £ 150, аналогично, для детских платьев получаем x2 £ 100. Расход ткани на план пошива (x1, x2) составит 3x1 + x2 м2, эта величина не должна превышать запаса ткани 505 м2. Следовательно, должно выполняться неравенство 3x1 + x2 £ 505.

Прибыль от продажи платьев составит f(X) = 10x1 + 5x2 ден. единиц, и она должна быть наибольшей

Получаем экономико-математическую модель задачи:

Найти максимум функции f(X) при заданных ограничениях

f(X) = 10x1 + 5x2 ® max

3x1 + x2 £ 505

x1 £ 150

x2 £ 100

x1,2 ³ 0, целые.

Задание 2.

Решаем задачу без условия целочисленности решения. Построим множество допустимых решений задачи.

Прямые ограничения x1,2 ³ 0 выделяют первую четверть плоскости.

Проведем прямую 3x1 + x2 = 505 через точки (110; 175) и (175; -5). Подставим в первое неравенство координаты точки (0; 0): 3×0 +1×0 = 0 < 505, так как неравенство выполняется, то выбираем полуплоскость, содержащую эту точку.

Проведем прямую x1 = 150 и выберем левую полуплоскость.

Проведем прямую x2 = 100 и выберем нижнюю полуплоскость.

Множество допустимых решений – это многоугольник ABCDO.

Построим линию уровня целевой функции f(X) = 10x1 + 5x2 10x1 + 5x2 = 0 через точки (0; 0 ) и (-10; 20). Вектор-градиент {10; 5} задает направление, перемещаясь вдоль которого, можно увеличить значение целевой функции; перемещаясь в противоположном направлении, можно уменьшить ее значение.

Из чертежа видно, что наибольшее значение целевой функции будет на линии уровня, проходящей через точку В.

Координаты этой точки найдем из системы

3x1 + x2 = 505,

x2 = 100.

x1 = 135,

x2 = 100.

fmах = 10 ×135 + 5 ×100 = 1850 ден. единиц.

Полученное оптимальное решение оказалось целым, следовательно, это решение поставленной задачи. Получили: в оптимальном плане пошива следует сшить женских платьев 135 шт., детских – 100 шт. При этом прибыль составит 1850 ден. единиц и будет наибольшей.

Задание 3.

Двойственная задача.

Найти минимум функции g(Y) при ограничениях:

g(Y) = 505y1 + 150y2 + 100y3 ® min

3y1 + y2 ³ 10

y1 + y3 ³ 5

y1,2,3 ³ 0.

Оптимальное решение прямой задачи Х = (135; 100). Подставим его в ограничения этой задачи

3×135 + 1×100 = 505

135 < 150

100 = 100.

Условия дополняющей нежесткости (вторая теорема двойственности): для оптимальных планов двойственных задач имеют место соотношения:

Так как для оптимального решения прямой задачи второе ограничение выполняется как неравенство, то в оптимальном решении двойственной задачи y2 = 0.

Так как для оптимального решения прямой задачи х1 > 0и х2 > 0, то оба ограничения двойственной задачи выполняются как равенство. Для нахождения решения двойственной задачи получаем систему

y2 = 0

3y1 + y2 = 10

y1 + y3 = 5.

Получаем решение: y1 = 10/3, y2 = 0, y3 = 5/3.

Найдем значение целевой функции двойственной задачи:

g(Y) = 505×10/3 + 150×0 + 100×5/3 = 5550/3 = 1850.

Получили gmin = fmax = 1850 ден. единиц.

Так как значения прямой и двойственной функций равны, то Y = (10/3; 0; 5/3) является оптимальным решением двойственной задачи (по первой теореме двойственности).

Задача 3.

Задание 1. Записать исходные данные задачи в виде транспортной таблицы, определить, открытой или закрытой является транспортная задача.

Задание 2. Сформулировать экономико-математическую модель исходной транспортной задачи.

Задание 3. Найти оптимальный план перевозок, отметив при этом единственность или неединственность оптимального плана.

Вариант 3.

Картофель из четырех районов должен быть перевезен в три хранилища. Запасы картофеля в районах соответственно равны 400 т, 500 т, 800 т и 500 т. Возможности хранилищ соответственно равны 700 т, 800 т и 700 т. Затраты на перевозку одной тонны картофеля из первого района в каждое из хранилищ равны соответственно 1, 4 и 3 ден. единиц; аналогичные затраты на перевозку из второго района составляют 7, 1 и 5 ден. единиц, из третьего - 4, 8 и 3 ден. единиц, из четвертого - 6, 2 и 8 ден. единиц. Найти план перевозок картофеля из районов в хранилища, при котором транспортные расходы были бы минимальными.

Решение.

Задание 1.

Сумма мощностей поставщиков (запасы картофеля в всех районах) 400+500+800+500 = 2200, сумма мощностей потребителей (возможности всех хранилищ) 700+800+700 = 2200. Суммы равны, данная задача является транспортной задачей закрытого типа.

Задание 2.

Обозначим xij объем поставок картофеля от i – го поставщика (района) j – му потребителю (хранилищу), i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3. Очевидно, xij ³ 0. В закрытой транспортной задаче все ограничения являются равенствами.

Так как потребности должны быть удовлетворены, то выполняются условия:

х11 + х21 + х31 + х41 = 700

х12 + х22 + х32 + х42 = 800 (1)

х13 + х23 + х33 + х43 = 700

Так как поставки от поставщика всем потребителям не могут быть больше его возможностей, то выполняются условия:

 Скачать реферат