Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Уравнения (1.61) – (1.93) при этих предположениях будут иметь вид:

3a1-f=0, (1.101)

g+6b1=0; (1.102)

(2a1-f)a2+3a=0, (1.111)

(4b1-g)a2+(a1+2b2-f)b2+3b=0, (1.112)

(2b1+c2-g)b2+(4b2-f)g2=0, (1.113)

(2c2-g)g2=0; (1.114)

2aa2+cb2+(a1-f)b3=0, (1.121)

2ba2+(a+d)b2+2cg2+(2b1-g)b3+(2b2-f)g3=0, (1.122)

bb2+2dg2+(c2-g)g3=0; (1.123)

ab3+cg3-df=0, (1.131)

bb3+dg3

-dg=0. (1.132)

Из условий (1.101) и (1.102) получаем, что

f = 2a1, g = 6b1.

Из условия (1.114) имеем

(2c2-g)g2=0.

Пусть g2, тогда

2c2-g=0 и g=2c2,

с другой стороны g = 6b1, значит

c2=3b1.

Имея условия f = 2a1, g = 6b1, c2=3b1, из соотношений (1.111) – (1.113), (1.121), (1.123) и (1.131) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:

a2 = , b2 = ,

g2 = , b3 = ,

g3 = ,(1.15)

d = .

Равенства (1.122) и (1.132) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a1, b1, b2:

(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22) a+(8a1b22-18a12b2+9a13) b+

24(a1b12-b12b2) c+(16a1b1b2-15a12b1) d]=0, (1.16)

(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22) a2+6(3a1b12-4b12b2) ac+(3a12b1-

-4a1b1b2) bc+2(4a12b2-3a13)bd –8a1b12cd+4a12b1d2]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c1=a2= 0, c2= 3b1.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a2=c1=0, c2=3b1. (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:

m(ax+by+a1x2+2b1xy)+n(cx+dy+2b2xy+3b1y2)=

=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях xm yn, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a1-a)m= 0, (1.211)

(2b1-b)m+(2b2-a)n=0, (1.212)

(3b1-b)n=0; (1.213)

(a-g)m+cn-pa=0, (1.221)

bm+(d-g)n-bp= 0, (1.222)

pg= 0. (1.223)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.223) получаем, что g=0.

Условия (1.221), (1.222) запишутся в виде:

am+cn-pa=0, (1.231)

bm+dn-bp= 0. (1.232)

Из условий (1.211) и (1.213) имеем:

(a1-a)m= 0,

(3b1-b)n=0.

Пусть m¹0, тогда a1-a=0 и

a=a1, (1.24)

а при n¹0, получаем, что 3b1-b=0 и

b=3b1. (1.25)

Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.212) находим выражение коэффициента m:

m=, (1.26)

а соотношение (1.231) даст значение коэффициента p:

p=. (1.27)

Из равенства (1.232), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):

[3(a1b1-2b1b2) a+(2a1b2-a12) b-3b12c+a1b1d] n=0. (1.28)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c1=a2= 0, c2= 3b1.

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(2ab1-ba1)[3(32a1b1b2-15a12b1-16b1b22) a+(8a1b22-18a12b2+9a13) b+

24(a1b12-b12b2) c+(16a1b1b2-15a12b1) d]=0,

(2ab1-ba1)[12(7a1b1b2-3a12b1-4b1b22) a2+6(3a1b12-4b12b2) ac+(3a12b1-

-4a1b1b2) bc+2(4a12b2-3a13)bd –8a1b12cd+4a12b1d2]=0,

[3(a1b1-2b1b2) a+(2a1b2-a12) b-3b12c+a1b1d] n=0.

Причем b1¹0, a1¹0, 2b1a-ba1¹0.

Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты

a1=, b1=1, b2=0.

Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:

a-b-3c+d=0, (1.30)

-a+b+6c-d=0, (1.31)

-a2+d2+ac+bc-bd-2cd=0. (1.32)

Выразим из условия (1.30) коэффициент c

c=a-b+d, (1.33)

подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d

d=(-21a+b). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

b=a.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

b=a,

c=-a, (1.35)

d=-a,

a1=, b1=1, a2=0, c1=0, b2=0, c2=3b1=3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

a2=12a, b2= -a,

 Скачать реферат