Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

; .

Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.

;

Тогда критерий оптимизации:

;

. (Здесь .)

Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.

Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:

;

;

.

Выберем управление:

;

Подставляем уравнения состояния, получим:

так как и , отсюда

;

;

.

Критерий оптимизации:

.

Введем переменные х0 и хn+1 (то есть х4).

, где t – текущее время.

.

Тогда основные уравнения состояния:

Составим гамильтониан Н:

;

.

Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.

То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1. Это и будет оптимальное управление.

Для функций ψi тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид :

– так как функция не зависит от х0,

следовательно производная равна нулю;

– аналогично, так как функция не зависит от х1.

Итак, нужно найти максимум гамильтониана:

Функция переключения:

Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:

Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при Ku<0), либо включен на максимальную мощность (при Ku>0).

Посмотрим, как меняется функция переключения Кu во времени:

;

Для определения ψ1 и ψ2 решаем сопряженные уравнения:

, следовательно, ψ1 = const, обозначим ψ1=с1.

, следовательно, , где c2 = const.

Итак,

Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина Ku либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз.

Рассмотрим четыре возможных случая:

а) Ku>0 для всех ;

б) Ku<0 для всех ;

в) Ku>0 для , Ku<0 для ;

г) Ku<0 для , Ku>0 для .

В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.

Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.

 Скачать реферат