Предельные точки

Докажем теперь важную теорему.

Теорема 3. Функция , непрерывная на ограниченном замк­нутом множестве , равномерно непрерывна на нем.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует такое, что для любого натурального найдется пара точек

, , (7)

для которых

(8)

В силу ограниченности последовательности и замкнутости су­ществует подпоследовательность , сходящаяся к некоторой точке . В силу (7) тогда и , и потому вследствие непрерывности в

что противоречит (8).

Рассмотрим числовое множество . Точка называется точкой сгущения этого множества, если в любой окрестности этой точки содержатся значения из , отличные от . Сама точка сгущения при этом может принадлежать или нет. Например, если или , то в обоих случаях является точкой сгущения для , но в первом случае она сама содержится в , а во втором – нет.

В предположении, что есть точка сгущения для , можно извлечь из - и притом бесчисленным множеством способов - такую последовательность

(9)

значений , отличных от , которая имела бы своим пределом . Действительно, задавшись последовательностью положительных чисел , сходящейся к нулю, в каждой окрестности точка (при ) найдем по точке из ,отличной от ; так как , то .

Пусть теперь в области , для которой является точкой сгущения, задана некоторая функция . Представляет интерес поведение этой функции при приближении к . Говорят, что функция имеет предел , конечный или нет, при стремлении к (в точке ), если какую бы последовательность (9) с пределом , извлеченную из , ни пробегала независимая переменная , соответствующая последовательность значений функции

всегда имеет предел . Обозначается это так:

или при .

Предположим теперь, что множество содержит сколь угодно большие положительные значения ; тогда говорят, что является точкой сгущения этого множества. Если под окрестностью точки разуметь промежуток , то можно высказанное предположение представить и такой форме: в каждой окрестности точки должны содержаться числа из множества .

Если это предположение выполнено, то можно из выделить последовательность (9), имеющую пределом . Действительно, взяв любую положительную переменную , стремящуюся к , для каждого (при ) найдем в значение ; очевидно, .

 Скачать реферат