Прогнозирование функций по методу наименьших квадратов

Введение

В качестве тренда процесса был выбран линейный тренд вида

Y=at+b, (23)

где а=1, b=2. Тренд процесса показан на рисунке 3.

Рисунок 3. График тр

енда

График прямой с учетом сгенерированного шума по логнормальному закону выглядит так:.

Рисунок 4. График прямой с учетом шума.

Наша задача в курсовом проекте заключается в определении насколько сильно шум влияет на прогнозирование. Для этого мы определяем расхождения между трендом и прогнозом и оцениваем степень расхождения из-за шума по критерию Пирсона

1. Построение прямой аппроксимирующей свойства тренда с помощью МНК

Наша ошибка сгенерирована по логнормальному закону с математическим ожиданием равным 0 и дисперсией равной 1. Гистограмма распределения шума представлена на рисунке 5.

Рисунок 5. (Гистограмма распределения значений шума по интервалам).

С помощью формул (21) и (22) вычислим коэффициенты линейного уравнения тренда с учетом шума с помощью метода МНК:

По найденным коэффициентам строим график прямой, которая аппроксимирует основные свойства линейного тренда. График показан на рисунке 6:

Рисунок 6. (Прямая, построенная по методу наименьших квадратов).

2. Прогнозирование дальнейшего продвижения тренда

Наша задача состоит в том, чтобы спрогнозировать дальнейшее поведение уравнения тренда и определить расхождения с спрогнозированными значениями.

Для этого увеличиваем участок наблюдения за линейным трендом без шума до τ =2t=50

График расхождения исходного тренда и аппроксимированного тренда по МНК виден на рисунке 7. (Yτ – исходный тренд; Zτ – аппроксимированный тренд по МНК)

Рисунок 7 (На рисунке показаны тренд и аппроксимирующая его свойства прямая, построенная по методу наименьших квадратов).

Расхождения вычислены на удаленно отрезке(τ=50):

Δ= Zτ - Yτ =0.864

Проведем серию из 25 экспериментов по вычислению расхождений Δ по модулю:

Рассчитаем среднее значение Δ и среднеквадратичное отклонение по формулам (6) и (8):

Δср=1.851; σ=1.484

График на рисунке 8 отображает расхождения между исходной функцией и прямыми, полученными в результате аппроксимации по МНК. Синим цветом показаны полученные прямые, красным - исходная функция.

Рисунок 8. (На рисунке показаны тренд и несколько прямых, построенных по методу наименьших квадратов и аппроксимирующих свойства тренда).

3. Анализ результатов эксперимента

Полученные значения расхождений Δ представим в виде гистограммы и эмпирической функции по интервалам на рисунке 9:

Рисунок 9. (На рисунке представлены гистограмма распределения значений Δ по интервалам, а так же график функции распределения Δ).

Из рисунков видно, что закон Δ больше всего похож на логнормальный, поэтому для сравнения оценки расхождения распределения сгенерируем выборку объемом в 25 (а так же выборки объемом 100, 500 и 1500) по логнормальному закону с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 и вычислим параметры.

Сгенерированная выборка:

 Скачать реферат