Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

2. Обратная матрица

Кроме действий над матрицами как сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу есть также операция делении на матрицу. Она эквивалентна умножению на обратную матрицу. Рассмотрим, что же это такое.

Определение 1. Матрица , удовлетворяющая вместе с матрицей h=17 height=17 src="images/referats/11737/image053.png">равенствам , где - единичная матрица, называется обратной к и обозначается .

Поскольку и обладают в произведении перестановочным свойством, то обе матрицы должны быть квадратными и одного порядка.

Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратной матрицы, введем некоторые понятия.

Определение 2. Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля, то матрица называется невырожденной. В противном случае она называется вырожденной.

Определение 3. Пусть дана квадратная матрица

.

Матрицей союзной или присоединенной к матрице называется матрица

,

где алгебраические дополнения элементов данной матрицы.

Необходимо обратить внимание на то, что в матрице алгебраические дополнения к элементам -ой строки расположены в -ом столбце.

Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть .

Теорема 2. Матрица имеет обратную только в том случае, если она невырожденная.

Доказательство. Пусть для матрицы существует обратная , тогда . Отсюда следует, что

,

иначе единицы справа быть не может.

Теорема 3. У каждой невырожденной матрицы существует единственная обратная .

Доказательство. Пусть имеет две обратные матрицы и . Тогда

и .

Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицы существует обратная, равная .

Докажем эту теорему, вычисляя . Очевидно, что мы должны получить при этом матрицу , элементы которой находятся по формуле

.

В полученном выражении, если , то . Действительно, похоже на выражение для вычисления величины определителя. При этом элементы -ой строки умножаются на алгебраические дополнения -го столбца. Но так как эти дополнения содержат в себе -ую строку, то получается, что мы вычисляем определитель с двумя одинаковыми строками. Значит, он равен нулю.

Итак, если , то . Если же , то полученное выражение в точности соответствует формуле для вычисления определителя. Значит,

Но определяет диагональные элементы. Значит, в полученной матрице по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы - нули. Это единичная матрица . Следовательно, и .

Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы:

1. находим (он должен быть не равен нулю);

2. транспонируем матрицу ;

3. заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением;

4. делим каждый полученный элемент на .

3. Решение матричных уравнений

Понятие обратной матрицы дает возможность решать матричные уравнения. Пусть имеется уравнение вида , где , , , - некоторые матрицы, причем - неизвестная. Для нахождения , прежде всего, необходимо перенести вправо: . Затем, пользуясь тем, что , умножим равенство на :

 Скачать реферат