Элементы теории вероятности

• национальный доход есть сумма потребительских, инвестиционных и государственных закупок товаров и услуг.

Наша первая задача - перевести эти положения на математический язык. И тут мы немедленно сталкиваемся с многообразием открываю­щихся перед нами возможных способов удовлетворения сформулирован­ным априорн

ым требованиям теоретика. Какие соотношения выбрать между переменными - линейные или нелинейные? Если остановиться на нелинейных, то какими они должны быть - логарифмическими, поли­номиальными или какими-либо еще? Даже определив форму конкретного соотношения, мы оставляем еще нерешенной проблему выбора для раз­личных уравнений запаздываний по времени. Будут ли, например, ин­вестиции текущего периода реагировать только на национальный доход, произведенный в последнем периоде, или же на них скажется динамика не скольких предыдущих периодов? Обычный выход из этих трудностей со­стоит в выборе при первоначальном анализе наиболее простой из возмож­ных форм этих соотношений. Тогда появляется возможность записать на основе указанных выше положений следующую линейную относительно анализируемых переменных и аддитивную относительно случайных со­ставляющих модель:

где априорные ограничения выражены неравенствами

Эти три соотношения вместе с ограничениями образуют модель. В ней уt(1) обозначает потребление, у t(2),- инвестиции, у t(3) - национальный до­ход, х t(1) - подоходный налог, х t(2) - норму процента как инструмент государственного регулирования, хt(3) - государственные закупки това­ров и услуг, измеренные в «момент времени» t.

Присутствие в уравнениях (6а) и (6б) «остаточных» случайных составляющих δt(1) и δt(2) обусловлено необходимостью учесть влияние со­ответственно на у t(1) и у t(2) ряда неучтенных факторов. Действительно, нереалистично ожидать, что величина потребления уt(1) будет однозначно определяться уровнями национального дохода (у t(3) ) и подоходного налога (хt(1)); аналогично величина инвестиций у t(2) зависит, очевидно, не только от достигнутого в предыдущий год уровня национального дохода (у t-1(3)) и от величины нормы процента (х t(2)), но и от ряда не учтенных в уравнении ( 6б ) факторов. Полученная модель содержит два уравнения, объясняющие поведение потребителей и инвесторов, и одно тождество. Модель сформулирована для дискретных периодов времени и имеет запаздывание (лаг) в один период для отражения воздействия национального дохода на инвестиции.

Этот пример объясняет общие черты од­ного из важнейших этапов эконометрического моделирования, в процессе которого исследователь математически формализует отдельные положе­ния экономической теории и объединяет их в систему. В дальнейшем мы используем этот пример для пояснения ряда основных понятий экономе­трического моделирования.

Проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты как один из этапов эконометрического исследования

По своему назначению и характеру решаемых задач статистические критерии чрезвычайно разнообразны. Однако их объединяет общность логической схемы, по которой они строятся. Коротко эту логическую схему можно описать так.

1.Выдвигается гипотеза Н0.

Задаются величиной так называемого уровня значимости критерия ά. Дело в том, что всякое статистическое решение, т. е. решение, прини­маемое на основании ограниченного ряда наблюдений, неизбежно сопрово­ждается некоторой, хотя, возможно, может и очень малой, вероятностью ошибочного заключения как в ту, так и в другую сторону. Скажем, в какой-то небольшой доле случаев а гипотеза Н0 может оказаться отверг­нутой, в то время как на самом деле она является справедливой, или, наоборот, в какой-то небольшой доле случаев β мы можем принять нашу гипотезу, в то время как на самом деле она ошибочна, а справедливым оказывается некоторое конкурирующее с ней предположение - альтер­нативная гипотеза Н1. При фиксированном объеме выборочных данных величину вероятности одной из этих ошибок мы можем выбирать по сво­ему усмотрению. Если же объем выборки можно как угодно увеличивать, то имеется принципиальная возможность добиваться как угодно малых вероятностей обеих ошибок ά и β при любом фиксированном конкуриру­ющем предположительном утверждении Н1. В частности, при фиксиро­ванном объеме выборки обычно задаются величиной а вероятности оши­бочного отвержения проверяемой гипотезы Н0, которую часто называют «основной» или «нулевой». Эту вероятность ошибочного отклонения «нулевой» гипотезы принято называть уровнем значимости или разме­ром критерия. Выбор величины уровня значимости а зависит от сопо­ставления потерь, которые мы понесем в случае ошибочных заключений в ту или иную сторону: чем весомее для нас потери от ошибочного отвержения высказанной гипотезы Н0, тем меньшей выбирается величина ά.

3. Задаются некоторой функцией от результатов наблюдения (крити­ческой статистикой) γ(n)= γ (х1, х2,…, х3). Эта критическая стати­стика γ(n), как и всякая функция от результатов наблюдения, сама явля­ется случайной величиной и в предположении справедливости гипотезы Н0 подчинена некоторому хорошо изученному (затабулированному) закону распределения с плотностью f γ(n)(u).

4.Из таблиц распределения f γ(n)(u) находятся 100(1 - ά/2)%-ная точка γminά/2 и 100 ά/2%-ная точка γmaxά/2, разделяющие всю область мыслимых зна­чений случайной величины γ(n) на три части: область неправдоподобно малых (I), неправдоподобно больших (III) и естественных или правдопо­добных (в условиях справедливости гипотезы Н0) значений (II) (рис.1). В тех случаях, когда основную опасность для нашего утверждения пред­ставляют только односторонние отклонения, т.е. только «слишком ма­ленькие» или только «слишком большие» значения критической стати­стики γ(n) находят лишь одну процентную точку: либо 100(1 -ά) %- ную точку γminά, которая будет разделять весь диапазон значений γ(n) на две части: область неправдоподобно малых и область правдоподобных зна­чений; либо 100 ά %-ную точку γ(max)ά, она будет разделять весь диапазон значений γ(n) на область неправдоподобно больших и область правдопо­добных значений.

5. В функцию γ(n) подставляют имеющиеся конкретные выборочные данные х1, .,х2 и подсчитывают численную величину γ(n). Если окажется, что вычисленное значение принадлежит области правдо­подобных значении γ(n) то гипотеза Н0 считается не противоречащей вы­борочным данным. В противном случае, т. е. если γ(n) слишком мала или слишком велика, делается вывод, что γ(n) на самом деле не подчиняется закону f γ(n)(u), и это несоответствие мы вынуждены объяснить ошибочностью высказанного нами предположения Н0 и, следовательно, отказаться от него.

На разных стадиях статистического исследования и моделирования возникает необходимость в формулировке и экспериментальной провер­ке некоторых предположительных утверждений (гипотез) относительно природы или величины неизвестных параметров анализируемой стохасти­ческой системы. Например, исследователь высказывает предположение: «исследуемые наблюдения извлечены из нормальной генеральной совокуп­ности» или «среднее значение анализируемой генеральной совокупности равно нулю».

 Скачать реферат