Длина дуги кривой в прямоугольных координатах

.

Полученное выражение является интегральной суммой. Так как функция по условию непрерывна, то предел этой суммы при и существует и рав

ен определенному интегралу:

.

Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:

.

9. Объем тела вращения

Рассмотрим теперь тело, полученное в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси . Пусть основанием этой трапеции является отрезок , расположенный на оси , и она ограничена непрерывной кривой . В этом случае в любом сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , будет круг, радиус которого совпадает со значением функции в данной конкретной точке. Поэтому площадь сечения будет равна .

Подставив данное выражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений, приведенную в предыдущем параграфе, получим:

.

Если трапеция вращается вокруг оси , то должна быть задана функция на отрезке . В этом случае объем тела вращения равен:

.

Литература

1. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.

2. Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.

3. Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.

4. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.

 Скачать реферат