Теория управления. Принципы системного анализа

где x0, y0, yo’… - заданные числа. Такая задача может быть приведена к решению системы дифференциальных уравнений путем подстановок

, , …, (7)

Будем иметь:

er=0 width=80 height=22 src="images/referats/5837/image383.png">

(8)

Дальнейшее решение задачи выполняют как указано выше, например, методом Рунге-Кутта.

Для примера найдем приближенное решение нелинейного дифференциального уравнения свободных колебаний маятника в среде, обладающей сопротивлением. Пусть – угол отклонения маятника от положения равновесия, t – время. Полагая, что сопротивление среды пропорционально угловой скорости маятника, имеем для = (t) нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

(9)

где – коэффициент затухания колебаний;

g – ускорение свободного падения;

l – длина маятника.

Принимая =0,2, g/l= 10, приходим к уравнению

(10)

с начальными условиями: угол отклонения , угловая скорость .

Выполняя подстановки типа (9), т.е. полагая , запишем уравнение (10) в виде системы уравнений

,

(11)

Приближенное решение этой системы будем искать методом Рунге-Кутта, используя зависимости (9). При этом роли и в уравнениях (9) будут исполнять их значения:

,

.

Примем: h=0,1; , . При i=0 находим:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Следовательно, при t1=0,1, имеем:

;

Продолжая процесс вычислений для других значений ti, последовательно можем определить все интересующие нас значения .

16.6 Приближенное решение ДУ при заданных граничных условиях (краевых задач)

Рассмотренные выше приемы решений обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях в одной точке получены путем последовательного интегрирования уравнения по участкам, на которые может быть разбит весь интервал задания подынтегральной функции. В краевой задаче, когда для дифференциального уравнения заданы граничные условия в различных точках, необходимо получить решение в виде общего интеграла. Для решения таких более сложных задач существуют различные способы. Мы рассмотрим лишь некоторые из них, позволяющие свести решения краевых задач к рассмотренным выше задачам Коши.

16.6.1 Метод начальных параметров

Метод начальных параметров основан на дополнении поставленных для краевой задачи граничных условий в начале участка интегрирования некоторыми параметрами, называемыми начальными. Эти параметры выбирают так, чтобы полученная при этом совокупность начальных условий полностью определяла решение поставленной задачи.

Пусть дана краевая задача для системы n линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

(12)

с граничными условиями на концах интервала [0, l]

;

(13)

где – вектор неизвестных у1(х), y2(х), ., уn(х);

А(х) – матрица коэффициентов при неизвестных;

– вектор свободных членов;

– векторы постоянных интегрирования.

Общий интеграл системы уравнений (3.40) запишем в следующем виде:

(14)

где – частное решение матричного уравнения (12), удовлетворяющее всем нулевым начальным условиям ;

– частное решение соответствующего уравнению (12) однородного уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , где все элементы равны нулю, кроме i-гo, который равен единице; ci – постоянные интегрирования.

Подстановкой полученного по (12) решения в условия (13) получают систему n алгебраических уравнений для определения ci. Найденные постоянные подставляют в (14), откуда находят решение исходной краевой задачи.

 Скачать реферат