Пространственно-временная метрика, уравнения геодезических. Ньютоново приближение
левая часть (1.2.11) вдвое превышает левую часть (1.2.10) и, следователь!; о,
Считаяв точке, где
из (1.2.10) находим
d="Рисунок 2264" src="images/referats/5638/image088.jpg">
где
2.2 Шкалы времени
Уравнение (1.2.4)—дифференциальное, связывающее координатное и собственное время. С учетом (1.2.11) имеем
Еслиопределено интегрированием формулы (1.2.9), то можно найти
и, следовательно, получить после интегрирования выражения (1.2.15)
как функцию
Необходимо также выразить дифференциальное уравнение (1.2.15) через координатную скоростьПринимая в (1.2.11)
с учетом (1.2.4) получаем
Формулы (1.2.15) и (1.2.16) можно вывести делением формулы (1.2.32) на, соответственно,
3. НЬЮТОНОВО ПРИБЛИЖЕНИЕ
Принимая в уравнении (1.2.9)получим известное выражение для ускорения под действием закона всемирного тяготения Ньютона
Здесь мы отождествляемгде
— постоянная тяготения, а
- центральная масса. В этом случае в соответствии с (1.1.13)
а из
Таким образом, уравнение (1.2.4) дает.
а координатное и собственное время оказывается идентичным.
Подставив (1.3.8) в (1.2.9) и зная, что— произвольная функция
можно получить уравнение геодезической в любых координатах. Очевидно, что даже и при
закон обратных квадратов строго выводится только в случае постоянства к, что вновь приводит нас к стандартным координатам Шварцшильда с простой лишь сменой шкалы. Таким образом, уравнение геодезической (1.2.9) в стандартных координатах Шварцшильда является непосредственным релятивистским обобщением уравнения Ньютона (1.3.1). В этих координатах мы и будем рассматривать теорию орбитального движения, принимая ньютоново решение как первое приближение.
Теперь имеем
и, следовательно,
и далее по (3.3.1)
Учитывая, что—постоянный единичный вектор, интегрирование дает
где— произвольный постоянный единичный вектор, а е — произвольная константа. В силу перпендикулярности
и
из (1.3.3) следует, что
перпендикулярно
и находится в плоскости орбиты.
Умножив скалярно (1.3.3) наполучаем
где обозначеноРазделив (1.3.4) на
, находим уравнение
орбиты
Поскольку— ортогональные единичные векторы в плоскости
орбиты, а— единичный вектор вдоль
, можно ввести угол
такой, что
(1.3.6)
и, следовательно,Отсюда можно заключить, что (1.3.5) —
уравнение конического сечения, отнесенное к фокусу как началу, с эксцентриситетом е и параметром орбитыЕдиничный вектор
направлен вдоль большой полуоси (рис. 1.1) от центра к фокусу. Можно интерпретировать полную скорость
в (1.3.3) как сумму двух векторов: один из них — постоянная скорость
всегда перпендикулярная радиусу-вектору, а другой— постоянная скорость
в фиксированном направлении
вдоль малой оси сечения. Приняв большую полуось равной
для параметра орбиты имеем
где верхний знак относится к эллиптическому движению
нижний — к гиперболическому
Таким образом,