Доверительный интервал, доверительная вероятность

Рисунок 2 – Стандартизированное нормальное распределение случайной величины

Пример 1. На основе продолжительных наблюдений за весом X пакетов орешков, заполняемых автоматически, установлено, что стандартное отклонение веса пакетов σ = 10 г. Взвешено 25 пакетов, при этом их средний вес

составил = 244 г. В каком интервале с надежностью 95 % лежит истинное значение среднего веса пакетов?

Логично считать, что случайная величина X имеет нормальный закон распределения: Х~N(m, 10). Для определения 95%-го доверительного интервала найдем критическую точку = u0,025 из приложения 1 по соотношению

.

Тогда по формуле (3) построим доверительный интервал:

.

2.1.3Доверительный интервал для математического ожидания

нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии.

В реальности истинное значение дисперсии исследуемой случайной величины, скорее всего, известно не будет. Это приводит к необходимости использования другой формулы при определении доверительного интервала для математического ожидания случайной величины, имеющей нормальное распределение.

Пусть X ~ N(m, σ2), причем т и σ2 — неизвестны. Необходимо построить доверительный интервал, накрывающий с надежностью γ = 1 - α истинное значение параметра т.

Для этого из генеральной совокупности случайной величины X извлекается выборка объема п: х1, х2, ., хп.

1. В качестве точечной оценки математического ожидания т используется выборочное среднее , а в качестве оценки, дисперсии σ2 — исправленная выборочная дисперсия , которой соответствует стандартное отклонение .

2. Для нахождения доверительного интервала строится статистика , имеющая в этом случае распределение Стьюдента с числом степеней свободы v = п - 1 независимо от значений параметров т и σ 2.

3. Задается требуемый уровень значимости α.

4. Применяется следующая формула расчета вероятности

(4)

где — критическая точка распределения Стьюдента, которая находится по соответствующей таблице [5]. Тогда

.

Это означает, что интервал накрывает неизвестный параметр m с надежностью 1 - α.

Пример 2. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания нормально распределенного признака, если известны:σ = 2; = 5,4; n = 10; γ = 0,95.

Решение.

2Ф(t) = 0,95, Ф(t) = 0,5*0,95=0,475.

Найдя t = 1,96, получим .

Доверительный интервал

(– δ; + δ) = (5,4-1,24; 5,4+1,24)=(4,16; 6,64).

Пример 3. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней будет равна 0,2, если среднее квадратическое отклонение равно2.

Решение.

Дано: γ = 0,95; δ = 0,2; σ = 2. Найти n.

Из формулы находим. Из условия2Ф(t) = 0,95 находим t = 1,96. Тогда .

Пример 4. По заданным значениям характеристик нормально распределенного признака найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания:

γ = 0,95, n =12, S = 1,5. = 16,8.

Решение.

По даннымγ и n находим t = 2,20, тогда .

Доверительный интервал: (16,8 – 0,95; 16,8 + 0,95) = (15,85; 17,75).

2.1.4 Доверительный интервал для дисперсии нормальной

случайной величины.

Пусть X ~ N(т, σ2), причем т и σ2 — неизвестны. Пусть для оценки σ 2 извлечена выборка объема п: : х1, х2, ., хп .

1. В качестве точечной оценки дисперсии D(X) используется исправленная выборочная дисперсия которой соответствует стандартное отклонение .

2. При нахождении доверительного интервала для дисперсии в этом случае вводится статистика , имеющая –распределение с числом степеней свободы v = п - 1 независимо от значения параметра σ 2 .

3. Задается требуемый уровень значимости α.

4. Тогда, используя таблицу критических точек распределения, нетрудно указать критические точки , для которых будет выполняться следующее равенство:

. (5)

Подставив вместо соответствующее значение, получим

(6)

Неравенство может быть преобразовано в следующее:

. (7)

Таким образом, доверительный интервал () накрывает неизвестный параметр с надежностью 1- α. А доверительный интервал () с надежностью 1 - α накрывает неизвестный параметр [7].

 Скачать реферат