Алгебра логики

Эти функции введены формально. Однако им можно придавать определенный "логический" смысл. Алгебра логики часто называется исчислением высказываний.

При этом под высказываниями понимается всякое предложение, относительно которого можно утверждать, что оно истинно или ложно.

Например:

В=<один плюс один - два>

есть истинное высказывание.

Рассмотрим, какое смы

словое содержание можно вложить в некоторые сложные высказывания на примере ФАЛ 2-х аргументов.

Инверсия

Читается НЕ Х или Х с чертой, отрицание Х.

Возьмем, например, такое высказывание: А=<Киев-столица Франции>, тогда сложное высказывание НЕ А означает: не верно, что А, т.е. не верно, что <Киев-столица Франции>.

Из простых высказываний можно строить более сложные, применяя так называемые связи.

Логические связи – это ФАЛ, аргументами которых являются простые высказывания.

Конъюнкция

Возьмем 2 высказывания: А=<Москва – столица РФ>В=<дважды два - четыре>

тогда сложное высказывание: А & В будет истинным, так как истинны оба этих высказывания.

Поскольку таблица истинности для конъюнкции совпадает с таблицей умножения, если истинному высказыванию приписать значение '1', а ложному - '0', то сложное высказывание можно назвать произведением.

Функция конъюнкции истинна тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

Дизъюнкция

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

Читается X1 ИЛИ X2: Некоторое отличие от смысла союза "или", принятого в русском языке: в данном случае этот союз употребляется в смысле объединения, а не разъединения.

Логическая равнозначность

Это сложное высказывание истинно тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания.

Отсюда следует, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Например, А=<дважды два - пять>B=<один плюс два - шесть>А~В равнозначны.

Импликация

Это сложное высказывание ложно только тогда, когда X1 – истинно, а X2 – ложно.

Читается: если X1, то X2. При этом X1 – посылка, X2 – следствие.

Если посмотреть на таблицу истинности, то может показаться странным название этой функции, т.к. из него следует, что истинным может быть высказывание, составленное из двух ложных.

Но в действительности, все верно, т.к. содержанием высказываний в алгебре логики не интересуются.

Тогда из ложной посылки может следовать ложное следствие и это можно считать верным: <если Киев – столица Франции>, то <2-квадрат 3>.

Эквивалентности

В некоторых случаях сложное и длинное высказывание можно записать более коротким и простым без нарушения истинности исходного высказывания. Это можно выполнить с использованием некоторых эквивалентных соотношений.

Дизъюнкция: х х х х . х х х= х,

т.е. истинность высказывания не изменится, если его заменить более коротким, таким образом, это правило приведения подобных членов:

– постоянно истинное высказывание.

0 x = x

x1 x2 = x2 x1

- (переместительный) коммуникативный закон.

x1 х2 х3 = (x1 х2) х3 = x1 (х2 х3)

- сочетательный закон.

Конъюнкция:

х х х х . х х х= х

 Скачать реферат