Нелинейные САУ

На рис.4, а показан аналогичный фазовый портрет для случая, когда положение регулируемого равновесия неустойчиво, и в начале координат располагается неустойчивый фокус. Если начальное состояние этой системы лежит в любой точке фазовой плоскости, лежащей внутри внешнего предельного цикла, то в системе устанавливаются незатухающие колебания, соответствующие единственному аттрактору — внутреннему

предельному циклу. Если же начальное состояние окажется вне внешнего предельного цикла, то в системе возникают колебания, амплитуда которых неограниченно растет.

Система может иметь предельные циклы и тогда, когда фазовый портрет содержит более одной особой точки. Пример такого рода показан на рис.4, б. Здесь регулируемое равновесие неустойчиво(в начале координат — неустойчивый фокус), предельному циклу соответствуют устойчивые незатухающие колебания, которые устанавливаются с течением времени, если начальная точка лежит внутри области, выделенной фазовой траекторией, проходящей через вторую особую точку — седло. Эта траектория выделена на рис.4., б жирной линией.

Рис.4. Фазовые портреты нелинейных систем, не имеющих устойчивых особых точек: а — система с двумя предельными циклами, из которых только внутренний устойчив, б — система с устойчивым предельным циклом и седлом

Если фазовый портрет системы содержит более одной особой точки или если он содержит замкнутые траектории (предельные циклы), то область устойчивости не может охватывать всей фазовой плоскости подобно тому, как это имеет место в линейной системе. В этом случае область устойчивости всегда ограничена предельным циклом или фазовой траекторией, проходящей через особую точку.

Разумеется, фазовый портрет нелинейной системы может и не содержать дополнительных особых точек или замкнутых траекторий. В этом случае область влияния начала координат фазового пространства может охватывать всю фазовую плоскость и, так же, как в линейной системе, устойчивость не зависит от величины начального положения изображающей точки и величины возмущений.

До сих пор рассматривалась система, для описания которой достаточно двух уравнений первого порядка

В большинстве случаев при решении практических задач теории автоматического регулирования приходится иметь дело с уравнениями более высоких порядков.

Если порядок уравнения системы п больше, чем второй, то вместо двумерного фазового пространства — плоскости рассматривают n-мерное пространство, то есть такое пространство, в котором для задания точки надо задать п чисел — координат.

Если система дифференциальных уравнений имеет периодическое решение, то этому решению в фазовом пространстве соответствует замкнутая кривая. На плоскости замкнутые кривые являлись границами областей. В пространстве же ограничивать определенные области могут только поверхности, а не кривые. Поэтому замкнутая траектория по-прежнему соответствует периодическому решению рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, но не служит границей области.

Существуют два принципиальных различия между фазовой плоскостью и фазовым пространством.

1. На фазовой плоскости предельный цикл является не только образом колебательного движения, но и границей области устойчивости для другого предельного цикла или особой точки.

Иногда границей служат и сепаратрисные кривые, но это имеет место в сравнительно редких случаях (главным образом при наличии нескольких особых точек, когда сепаратрисами служат траектории, проходящие через седла — см. рис.2, а и рис.4, б).

В фазовом же пространстве никакая кривая (в том числе и предельный цикл) не может быть границей области.

Области ограничиваются сепаратрисными поверхностями, целиком состоящими из фазовых траекторий.

В результате для фазовой плоскости нахождение особых точек и предельных циклов часто решает задачу и об областях устойчивости «в большом». В фазовом же пространстве нужно для этого найти и сепаратрисные поверхности — задача чрезвычайно сложная.

2. В системах второго порядка колебания могут быть только пе­риодическими на одной определённой частоте.

При более высоких порядках могут сосуществовать колебания разных частот, например:

Если частоты w и W не связаны целочисленным соотношением к w = тW (где к и т — целые числа), то сумма этих двух колебаний есть тоже колебание, но непериодическое.

Такое колебание в фазовом пространстве образует уже не замкнутую траекторию, а траекторию, полностью заполняющую некоторую замкнутую поверхность (например, тор — см. рис.5).

Рис.5. Тороидальная поверхность, образуемая колебаниями в системе третьего порядка

Устойчивость нелинейных систем «в малом», «в большом» и «в целом». Системы, эквивалентные устойчивым линейным. Абсолютная устойчивость

Задача расчёта нелинейной САУ может считаться полностью качественно решенной, если определены фазовые портреты, возможные в этой системе, и если в ее пространстве параметров определены бифуркационные границы. Количественное решение задачи требует, кроме того, определения формы и расположения предельных циклов и сепаратрис (или сепаратрисных поверхностей) для каждой точки пространства параметров.

Аналитически столь полно решить нелинейную задачу удается лишь в отдельных частных случаях и, как правило, при существенной идеализации задачи.

С геометрической точки зрения, первая задача состоит в выделении нелинейных систем, у которых фазовое пространство имеет наиболее простую топологическую структуру: единственная особая точка (устойчивый фокус или узел) расположена в начале координат, иных особых траекторий нет, и область устойчивости (притяжения) особой точки охватывает все пространство. Именно такую топологическую структуру имеет фазовое пространство устойчивой линейной системы. В этом смысле задача сводится к отысканию условий, при выполнении которых нелинейная система топологически эквивалентна (условно мы будем говорить просто «эквивалентна») устойчивой линейной системе.

Вторая задача связана с определением периодических решений систем дифференциальных уравнений. Знание возможных периодических решений играет разную роль для систем, имеющих второй порядок, и для систем, имеющих более высокий порядок. В любом случае знание периодических решений важно само по себе: если периодическое решение устойчиво, то оно определяет незатухающие колебания, возможные в системе. Но для систем второго порядка знание периодических решений (то есть предельных циклов) и возможных равновесий (особых точек) позволяет часто восстановить фазовый портрет системы, а условия появления периодических решений позволяют восстановить ее бифуркационные границы. Иначе обстоит дело для систем, порядок которых выше двух. У таких систем знание особых точек и предельных циклов недостаточно для восстановления фазового портрета — решающую роль играют сепаратрисные поверхности.

Страница:  1  2  3  4 


Другие рефераты на тему «Коммуникации, связь и радиоэлектроника»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2024 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы