Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

2.2Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Если = a1b1. то =а1b1+а2b2

Теорема 1. Пусть (а1а2)(b1b2) – одномонотонные последоват

ельности. Тогда

Доказательство

Действительно,

– =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) (b1-b2)

Так как последовательности (а1а2)(b1b2) одномонотонны, то числа a1-a2 и b1-b2 имеют одинаковый знак. Поэтому

(a1-a2)(b1-b2) 0.

Теорема доказана.

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1

Упражнение №1.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство

a3 +b3 a2b+b2a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a3 +b3 =, a2b+b2a =

А так как последовательности (a2, b2), (a, b) одномонотонны, то

А это значит, что a3 +b3 a2b+b2a.

Что и требовалось доказать.

Докажем это же неравенство, но другим способом.

Значит a3 +b3 a2b+b2a.

Что и требовалось доказать.

Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности.

Упражнение №2.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство.

а2+b2.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

а2+b2 =, ,

А так как последовательности (), () одномонотонны, то

.

Что и требовалось доказать.

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Рассмотрим последовательность (а1,а2,а3) и (b 1, b2,b3), и запишем в виде таблицы

Если последовательность (а1,а2,а3)(b1, b2 ,b3) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1,а2,а3 находиться над наибольшим из чисел b 1,b2,b3, а второе по величине а1,а2,а3 находиться над вторым по величине из чисел b 1,b2,b3 , и где наименьшее из чисел а1,а2,а3 находиться над наименьшим из чисел b 1,b2,b3 то последовательность одномонотонная.

Если =a1b1, и =а1b1+а2b2, то =а1b1+а2b2+a3b3

Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы.

Лемма. Если (а1, а2, …аn) и (b 1, b2,…bn) одномонотонные последовательности, то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.

Доказательство.

Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных.

=а1b1+а2b2.

Заметим, что а1b1+а2b2 = а2b2+ а1b1 по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть

=

Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.

=а1b1+а2b2+a3b3.

Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть

а1b1+а2b2+a3b3= (a3b3+а2b2)+ а1b1 =

Лемма доказана

Теорема 2. Пусть (а1 а2 а3), (b1 b2 b3) – одномонотонные последовательности и ()(здесь и в дальнейшем) любая перестановка чисел b1 b2 b3. Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность отличается от (b1 b2 b3) то найдется пара чисел k, l (1k<l3) такая, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

, так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

 Скачать реферат