Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Доказательство: Рассмотрим равенство

из условия леммы 5.1. Тогда

.

Поскольку

, то

.

Поскольку функция доопределена до непрерывной дифференцируемости и по лемме 5.2 непрерывно-дифференцируема, то задаваемая выражением удовлетворяет равенствам из условия леммы 5.1.

Лемма доказана.

Теорема 5.4. Если функции и таковы, что выполняются условия

и

,

то уравнение

,

где - нечётная функция, эквивалентно уравнению .

Это следует из теоремы 2 [8]

Следствие 5.1.

Уравнение

эквивалентно уравнению Риккати вида , в котором

, , .

§6. О некоторых аспектах применения отражающей функции для исследования свойств решений дифференциальных систем

Рассмотрим систему

Лемма 6.1. Пусть периодическая дифференциальная система с решением и отражающей функцией эквивалентна в смысле совпадения отражающих функций некоторой дифференциальной системе с решением и отражающей функцией , причём имеет место равенство , а и продолжимы на . Тогда для любого натурального имеет место равенство

Теорема 6.1. Пусть периодическая дифференциальная система с решением эквивалентна в смысле совпадения отражающих функций стационарной системе

с решением . И пусть выполняются следующие условия:

А) верно равенство

Б) ограничено на ;

В) существует число , такое, что неравенство выполняется для всякого натурального ;

Г) все решения системы , для которых верно неравенство , продолжимы на .

Тогда продолжимо и ограничено на .

Доказательство. Докажем сначала продолжимость решения на . Это решение продолжимо на , что следует из условия Г), равенства и условия Б) (при ): . Покажем, что решение продолжимо и на . Заметим, что функция является решением системы и для него выполняются соотношения , справедливость которых следует из основного свойства отражающей функции. Тогда по условию теоремы продолжимо на , т.е. действительно продолжимо на . Индукцией по доказывается, что продолжимо на . В силу произвольности отсюда следует продолжимость на .

 Скачать реферат