Математическое моделирование роста доходности страховой компании

Таким образом, простейшая модель записывается ввиде

? -rt

J(t)=ò(aI(t)+(1-a)R(t))e dt

0

R(t)=F(K(t),L(t))

I(t)=mR(t)

(1-m)R(t)=Wa(t)+L(t)+K’(t)+dK(t)+p(t)K(t)

p(t)³pc, 0<d<1

Wa(t) = gK(t)+CmL(t)

0<g<1, 0<Cm<1, 0<a<1, 0<m<1

L(0)=L0, L0>0, K(0)=K0, K0>0

L0, K0-фиксированы

Модель представляет собой зада

чу оптимального управления с параметрами управления a,g,m,d,Сm.

n2. Многомерная модель роста доходности страховой компании.

Рассматривается страховая фирма, в которой работают n страховых агентов. Каждый агент работает на своем участке. Участки считаются неэквивалентными. Для того чтобы оценить работу страхового агента, введем коэффициент b, который зависит от следующих факторов:

1.плотность населения участка

2. уровень доходности жителей и т.д.

3. тип района, где расположен участок

4. опыт работы страхового агента

Обозначим коэффициент каждого агента bi,где i=1,n и

Предположим, что капитал фирмы есть сумма капиталов, заработанных каждым агентом.

n

K(t)=åKj(t) (2.2)

j=1

Предположим, что оплата труда организационных работников осуществляется за счет работы страховых агентов и затраты на их содержание распределяются пропорционально между всеми агентами.

Как и в модели рассмотренной выше, нас интересует ситуация, когда интересы, заключающиеся в получении максимума прибыли, агента и компании взаимосвязаны.

В силу аналогичных рассуждений целевой функционал построим в виде:

¥ n

J(t)=ò( åaIj(t) +(1-a)R(t))e-rt dt

0 j=1

здесь Ij(t)- доход j - го агента, "j j=1,n

R(t) можно представить в виде производственной функции.

Т.е.

R(t)=F(K1(t),K2(t), ., Kn(t), L(t)) (2.3)

Здесь Kj(t) - капитал, заработанный j - ым агентом.

Доход страхового агента можно представить как долю от величины поступивших за счет его работы страховых платежей с учетом коэффициента, характеризующего его страховое поле.(Определения, связанные со страхованием смотри в приложении 1) Все необходимые предположения для определения дохода j-го страхового агента сделаны в п.1

Ij(t)=mbjR(t), где 0<m<1, bj>0, "j j=1,n

Аналогично рассуждениям, приведенным в предыдущей модели, R(t) используется по тем же направлениям. Часть дохода страховой компании, идущая на развитие жизнедеятельности фирмы, распределяется следующим образом:

n

(1-m)R(t)=åWaj(t) +L(t)+dK(t)+ K’(t) +p(t) K(t) (2.4)

j=1

Здесь Waj(t) - затраты, связанные с процессом и обслуживанием заключения договоров страхования и средств, выделяемых администрацией j - му страховому агенту в форме отпускных и других положенных ему денежных вознаграждений.

Waj(t) = gKj(t)+CmL(t)/n "j j=1,n (2.5)

Все прочие обозначения смотрите в п.1.

Таким образом модель имеет вид:

Максимизировать

¥ n

J(t)=ò( åaIj(t) +(1-a)R(t))e-rt dt

0 j=1

при условиях

n

(1-m)R(t)=åWaj(t) +L(t)+dK(t)+ K’(t) +p(t) K(t)

j=1

R(t)=F(K1(t),K2(t), ., Kn(t), L(t))

Ij(t)=mbjR(t), где 0<m<1, bj>0, "j j=1,n

Waj(t) = gKj(t)+CmL(t), "j j=1,n

0<g<1,0<Cm<1, 0<d<1

p(t)³pс,0<a<1,

L(0)=L0, L0>0,K(0)=K0,K0>0

п3. Многосекторная модель роста доходности страховой фирмы.

Рассматривается страховая фирма, которая предлагает n видов страхования. Каждый агент занимается только одним видом страхования, таким образом имеем n агентов. Все агенты работают на одном и том же участке.

Предполагается, что доходность фирмы складывается из договоров, заключенных агентами, т.е.

n

R(t)= åRj(t).

j=1

Верно также и соотношение (2.2)

В силу аналогичных рассуждений целевой функционал построим в виде:

¥ n n

J(t)=ò( åaIj(t)+ å(1-a)Rj(t))e-rt dt

0 j=1 j=1

Здесь Ij(t)- доход агента, где j=1,n. Rj(t) - объем заключенных договоров j-ым агентом, в руб.

Rj(t) можно представить в виде производственной функции.

Rj(t)=F(Kj(t), L(t)), "j j=1,n. (2.6).

Из рассуждений приведенных в п.2 доход j - го страхового агента определяется по формуле

Ij(t)=mjRj(t), "j j=1,n.

Рассуждения, связанные с распределением дохода страховой компании аналогичны приведенным выше. ( п.2). Соответственно сохраняются выражения (2.4) и (2.5).

Таким образом многосекторная модель имеет вид

Максимизировать

¥ n n

J(t)=ò( åaIj(t)+ å(1-a)Rj(t))e -rt dt

0 j=1 j=1

при ограничениях

Rj(t)=F(Kj(t), L(t)) "j j=1,n

Ij(t)=m jRj(t) "j,j=1,n

n

(1- m)R(t)= åWaj(t)+L(t)+K’(t)+dK(t)+p(t)K(t)

j=1

Waj(t) = gKj(t)+CmL(t) "j,j=1,n

0<g<1, 0<Cm <1, 0<d<1

0<a<1, 0<m<1, p(t)³pc

L(0)=L0, L0>0, K(0)=K0, K0>0

п.4 Дискретный аналог простейшей модели роста доходности.

Дискретным аналогом простейшей модели является следующая модель, при постановке которой использовалась идея модели Лурье [6,стр.173]

aIT+(1-a)(RT+pcKT) ® max

при ограничениях

It=mRt-1-haD Kt-1 "t t=1,T

Rt=F(Kt,Lt) "t t=1,T

Kt=Kt-1+(1-a)D Kt "t t=1,T

Lt=Lt-1+D Lt "t t=1,T

(1-m)Rt=Wat+Lt+dKt+pcKt "t t=1,T

Wat=g Kt+CmLt "t t=1,T

0<a<1,0<m<1,0<h<1,Kt>0, Lt>0, DKt>0, DLt>0 "t t=1,T

K0, L0,а, d, pc,g, Cm- заданы

Здесь Т- конец рассматриваемого периода, а- доля выплат в общем потоке поступления средств, h - коэффициент штрафа, DKt-величина поступления оборотного капитала в период t, DLt- величина поступления фонда оплаты труда в период t.

Все остальные обозначения смотри в п.1.

Глава 2. Математический анализ моделей роста доходности страховой компании

§1 Математические анализ модели роста доходности страховой компании

Рассмотрим простейший аналог модели, приведенный в §2 главы 1. Приведем ее формулировку:

Максимизировать

?

ò (aI(t) + (1-a) R(t)) e-rt dt

0

при условии

(1-m)R(t)=gK(t)+CmL(t)+L(t)+dK(t)+K’(t)+p(t)K, 0<d<1

p(t)³pc,0<g+d+p<1,0<a<1, 0<m<1

L(0)=L0, L0>0 K(0)= K0, K0>0

K0 - начальный капитал фирмы, L0 - начальное значение фонда оплаты труда. Осуществим некоторые упрощения.

Предположим, что p(t)=pc. (1.1)

Учитывая (2.1) (гл.1) и тот факт, что F(K(t),L(t)) однородна и построив функцию Лагранжа, получим:

W(t)=(1- a+am)Lj(K(t)/L(t))e-rt + l(t)( -(1-m)L(t)j(K(t)/L(t)) + (g+d+pc)K(t) + (Cm + 1)L(t) + K’(t))

В результате исходная модель приводится к виду:

?

ò W(t) dt ®max (1.2)

0

при условиях

L(0)=L0, K(0)=K0 (1.3)

0<g+d+pc<1,0<a<1, 0<m<1,0<Cm<1 (1.4)

Далее, выпишем систему уравнений Эйлера - Лагранжа, вытекающую из (1.2)-(1.4)

Перепишем последнюю систему в удобном виде.

 Скачать реферат