Анализ стационарных и динамических объектов в MathCAD

2.1.3.3.2. Получение формулы Ньютона. Определим рекуррентное соотношение для нахождения корня методом Ньютона.

Уравнение касательной в точке можно получить как уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей угловой коэффициент ="images/referats/891/image044.gif">:

В точке пересечения касательной с осью Х, величина равняется нулю:

Отсюда

В общем случае для вычисления последующего приближения к корню по известному предыдущему формула Ньютона имеет вид:

К такому же результату можно придти, используя разложение в ряд Тейлора:

Члены, содержащие во второй и более высоких степенях, отбрасываются; используется соотношение . Предполагается, что переход от к приближает значение функции к нулю так, что т.е. точка выбирается такой, что значение функции в ней равняется нулю:

Полученная точка является точкой пересечения касательной в точке с осью Х. Поскольку кривая отлична от прямой, то значение функции скорее всего не будет в точности равно нулю (это результат отбрасывания членов высшего порядка в ряде Тейлора). Поэтому вся процедура повторяется, причем вместо используется .

Одно из преимуществ метода Ньютона – это то, что его можно распространить на решение систем нелинейных уравнений со многими переменными.

2.1.4. Решение систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

2.1.4.1. Постановка задачи. Система n нелинейных уравнений с n неизвестными имеет вид:

(2.2)

где – неизвестные;

– заданные функции n переменных.

Решением системы НАТУ называется совокупность чисел , которые, будучи поставлены на место неизвестных ,обращают каждое уравнение системы в тождество. Система (2.2) может иметь несколько решений. Нахождение решения системы уравнений является значительно более сложной задачей, чем решение одного уравнения. Для систем НАТУ не существует каких–либо приемов, используя которые получали бы приближенные значения корней. В некоторых случаях в результате построения графиков с последующим определением координат точек пересечения можно получить приближенные значения корней. Для уточнения корней всегда применяются итерационные методы, чаще всего метод Ньютона.

2.1.4.2. Метод Ньютона для решения систем НАТУ. Представим все n уравнений в виде рядов Тейлора:

(2.3)

Задача сводится к отысканию такой совокупности приращений , при которой близки к корню, т.е. левые части уравнений (2.3) обращаются в нули. Отбросив члены более высоких порядков, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно :

(2.4)

Систему линейных уравнений (5.4) можно записать в матричном виде:

(2.5),

где матрица коэффициентов (А) состоит из частных производных функций по всем переменным, а вектор свободных членов (В) – из функций с противоположным знаком. Матрица в левой части (2.5) называется матрицей Якоби или якобианом.

Найденные из системы (2.5) значения используются как поправки для получения очередного – го приближения к решению:

(2.6)

Таким образом, для выполнения одной итерации методом Ньютона решают СЛАУ (2.5) относительно вектора поправок . Получив значение вектора поправок (), получим очередное приближение к корням () (2.6) и т.д. до тех пор, пока все получаемые поправки не будут достаточно малы, что свидетельствует о близости приближенного решения к истинному ().

Следует обратить внимание на то, что проверку поправок на каждом шаге итерации на условие < () необходимо выполнять для значений поправок всех корней (.

Пример: Найти методом Ньютона решение системы уравнений

Решение. Очевидно,

 Скачать реферат