Использование метода динамического программирования для решения экономических задач

Табл. 2.22 содержит много ценной информации и позволяет единообразно решать целый ряд задач. Например, и табл. 2.22 видно, что наибольший дополнительный доход объединения из четырех предприятий может дать распределение между ними 60 тыс. ден. ед. (с = 60), составляет 45 тыс. ден. ед. (f4(60) = 45). При этом четвертому предприятию должно быть выделено 20 тыс. ден. ед. (x4*(60) = 20), а остальн

ым трем – 60 – 20 = 40 тыс. ден. ед. Из той же таблицы видно, что оптимальное распределение оставшихся 40 тыс. ден. ед. (с = 40) между тремя предприятиями обеспечит увеличения дополнительного дохода на сумму 32 тыс. ден. ед. (f3(40) = 32) при условии, что третьему предприятию будет выделено 40 тыс. ден. ед. (x3*(40) = 40), а остальным двум 40 – 40 = 0 тыс. ден. ед. Следовательно, на долю первого и второго средств не останется.

Итак, максимальный дополнительный доход на четырех предприятиях при распределении между ними 60 тыс. ден. ед. составляет 45 тыс. ден. ед. и будет получен, если первому и второму предприятиям средств не выделять, третьему – 40 тыс. ден. ед., а четвертому – 20 тыс. ден. ед.

Пример 2

Производственному объединению из трех предприятий выделяется банковский кредит в сумме 60 млн. ден. ед. для реконструкции и модернизации производства с целью увеличения выпуска продукции. Значения gi(xi) (i = ) дополнительного дохода, получаемого на предприятиях объединения в зависимости от выделенной суммы xi, приведены в таблице 2.23. Распределить выделенный кредит между предприятиями так, чтобы дополнительный доход объединения был максимальным.

Таблица 2.23

Решение.

Пусть п = 1. В соответствии с формулой (1.7) в зависимости от начальной суммы c получаем с учетом таблицей 2.23 значения f1(c), помещенные в таблицу 2.24.

Таблица 2.24

Предположим теперь, что средства вкладываются в два предприятия. Тогда в соответствии с формулой (1.9)

f2(с) = (g2(x) + f1(c – x))

Очередная задача – найти значения функции f2(с) для всех допустимых комбинаций c и x. Для упрощения расчетов значения x будем принимать кратными 20 тыс. ден. ед. и для большей наглядности записи оформлять в виде таблиц. Каждому шагу будет соответствовать своя таблица. Рассматриваемому шагу соответствует табл. 2.25.

Для каждого значения (20, 40, 60) начальной суммы c распределяемых средств в таблице 2.25 предусмотрена отдельная строка, а для каждого возможного значения x (0, 20, 40, 60) распределяемой суммы – столбец. Некоторые клетки таблицы останутся незаполненными, так как соответствуют недопустимым сочетаниям c и x. Такой, например, будет клетка, отвечающая строке c = 20 и столбцу x = 40, ибо при наличии 20 тыс. ден. ед. естественно отпадает вариант, при котором одному из предприятий выделяется 40 тыс. ден. ед.

Таблица 2.25

В каждую клетку таблицы будем вписывать значение суммы g2(x) + f1(c x). Первое слагаемое берем из условий задачи (см. табл. 2.23), второе – из таблицы 2.24. Так, например, при распределении начальной суммы с = 60 тыс. ден. ед. одним из вариантов может быть следующий: второму предприятию выделяется 40 тыс. ден. ед. (х = 40), тогда первому 60 – 40 = 20 тыс. ден. ед. При таком распределении первоначальной суммы на втором предприятий будет обеспечен прирост продукции на сумму в 34 тыс. ден. ед. (см. табл. 2.23), на первом – 9 тыс. ден. ед. (см. табл. 2.24).

Общий прирост составит (34 + 9) тыс. ден. ед., что и записано в соответствующей клетке таблицы 2.25. В двух последних столбцах таблицы проставлены максимальный по строке прирост продукции (в столбце f2(c)) и соответствующая ему оптимальная сумма средств, выделенная второму предприятию (в столбце x2*(c)). Так, при начальной сумме с = 20 тыс. ден. ед. максимальный прирост выпуска продукции составляет 11 тыс. ден. ед. (11 + 0), и это достигается выделением второму предприятию 20, а первому – 20 – 20 = 0 тыс. ден. ед.

Расчет значений f3(c) приведен в таблице 2.26. Здесь использована формула, получающаяся из (1.9) при п = 3:

f3(с) = (g3(x) + f2(c – x)).

Таблица 2.26

 Скачать реферат