Классическое вариационное исчисление. Уравнение Эйлера. Задача вариационного исчисления с подвижными границами

Записываем условие трансверсальности

Решаем систему уравнений, чтобы определить оптимальное значение управления

=>

=>

Получаем однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка

Записываем характеристическое уравнение

Поэтому решение имеет вид:

Чтобы определить неизвестные константы, воспользуемся условием трансверсальности

Т.к. C1 и C2 равны 0, то и ψ2 равно 0, значит

Подставим получившееся значение в первую систему и решаем её

Получается однородное дифференциальное уравнение 2-ого порядка

Характеристическое уравнение

Решение имеет следующий вид

Найдём неизвестные константы, воспользуемся начальным условием

Ответ:

Задание 4

Решить задачу оптимального управления в форме Понтрягина:

, , .

Решение:

Приводим задачу к форме Понтрягина, для этого проводим замену переменных

, , , ;

Записываем функцию Гамильтона

H**u

Функция Гамильтона линейна на U, поэтому H достигает максимума при

Найдем :

Получаем:

, , ;

Выполняем условия трансверсальности:

;

Вся

Нахожу .

=.

Подставляю начальные условия:

(0) = 0, тогда 0 = U*0 +

Для получения подставляю в уравнение =:

.

Ответ: ;

Задание 5

Решить задачу распределения 5 единиц денежных ресурсов между четырьмя предприятиями.

На будущий период были выделены 5 денежных средств, которые нужно распределить между четырьмя предприятиями, причем каждому предприятию необходимо выделить средства кратно одной денежной единицы. Прибыль от инвестирования средств зависит от количества вложений x в каждое k-e предприятие, равно fk(x) и приведено в таблице. Определить оптимальное распределение средств между предприятиями.

Таблица 1 - Доход и распределение ресурсов

 Скачать реферат