Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

.

В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных a и b

Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению , корнями которого являются числа h=44 height=25 src="images/referats/27429/image187.png">и . Корень посторонний, поскольку . Осталось решить уравнение , откуда находим .

Ответ. .

Пример 16. Решить уравнение

.

Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить , , то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z.

Для этого возведем равенства ,в четвертую степень и заметим, что .

Итак, надо решить систему уравнений

она имеет два (действительных) решения: , ; , . Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

и систему

первая из них дает , вторая дает .

Ответ. , .

Не всегда после введения новых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренных Примерах 15, 16. Однако, как можно убедиться из следующего примера, переход от уравнения к системе может помочь и в таком случае.

Пример 17. Решить уравнение

.

Решение. Введем новые переменные

и .

По стандартной схеме получим следующую систему уравнений:

откуда следует, что

.

Так как , то u и v должны удовлетворять системе

из которой после несложных преобразований получаем уравнение

.

Заметим, что это уравнение имеет корень . Тогда, разделив многочлен на , получаем разложение левой части уравнения на множители

.

Отсюда следует, что - единственное решение этого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.

Ответ.

3. Тригонометрическая замена.

Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной.

Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену , или , .

Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену tg t, или ctg t, .

Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену , или , .

Проиллюстрируем использование этих замен на следующих примерах.

Пример 18. Решить уравнение .

Решение. В данное уравнение входит выражение , поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену

tg t, где .

Тогда выражение , входящее в уравнение, можно преобразовать

и исходное уравнение можно записать в виде

.

Поскольку не равен нулю при рассматриваемых значениях t, то полученное уравнение равносильно уравнению

.

Решая это уравнение, находим два возможных значения

и .