Рассеяние рентгеновских лучей на молекулах фуллерена

6. Приложения

6.1. Приложение 1. Комплексные числа

6.1.1. Определение комплексного числа

При рассмотрении действительных чисел оказалось, что нельзя найти такое число, квадрат которого равен (–1). Для того чтобы задачи с использованием этого числа были разрешимы, вводится понятие комплексного числа.

Комплексное число представляет собой выражение вида a + bi,

где a и b – действительные числа, а число i представляет собой . С комплексными числами, как и с действительными, можно проводить математические операции:

Выражения a + bi и c + di называют равными, только в том случае, когда одновременно выполняются два равенства a = c и b = d.

Суммой двух комплексных чисел a + bi и c + di называют комплексное число вида (a + c) + (b + d) i.

Произведением двух комплексных чисел a + bi и c + di называют комплексное число вида (ac – bd) + (ad + bc) i.

Часто комплексное число обозначают одной буквой, например.

Если комплексное число z умножить само на себя n раз (n≥2), то это произведение называют степенью комплексного числа, кроме того, z1 = z.

Раз комплексные числа можно складывать и умножать между собой, значит, среди комплексных чисел действуют и основные законы сложения и умножения: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность умножения относительно сложения.

Для умножения и сложения комплексных чисел существуют и обратные операции:

Разностью комплексных чисел z1 и z2 называют такое число z3, которое в сумме с z2 даёт z1.

Частным комплексных чисел z1 и z2 называют такое число z3, которое при умножении с z2 даёт z1.

Рассмотрим случай, когда одно из действительных чисел, которые составляют комплексное число a + bi равно нулю.

b = 0. Тогда комплексное число a + bi принимает вид a + 0i, что равно a.

a = 0. Тогда комплексное число принимает вид 0 + bi, что равно bi. Такие числа называют чисто мнимыми числами. Рассмотрим частный случай, когда b=1. Тогда комплексное число a + bi примет вид 0 + 1i, что равно i. Комплексное число вида 0 + 1i называют мнимой единицей.

b = 0, a = 0. Тогда комплексное число примет вид a + 0i, что равно 0.

6.1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Всякое действительное число можно изобразить точкой на прямой. Для этого используют горизонтальную или действительную ось. Значит можно графически изобразить и чисто мнимое число. Для этого вводится вертикальная или мнимая ось. Попробуем графически изобразить комплексное число. Так как комплексное число – это сумма действительного и чисто мнимого, то комплексное число изображается так, как показано на рис.1.

Комплексное число можно изобразить и радиус-вектором. Тогда, из получившегося прямоугольного треугольника, можно найти модуль этого вектора. А так как мы комплексное число изображали вектором, то модуль комплексного числа – это модуль этого радиус-вектора, или модуль комплексного числа z=a+bi – это действительное число .

Рис.2. Геометрическая иллюстрация суммы двух комплексных чисел.

z3 = z1 + z2 = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d) i

Аргументом комплексного числа z = a + bi, отличного от нуля, называется любое число φ, являющихся решением системы уравнений:

(1)

Для числа z = 0 аргумент не определяется.

Главным аргументом комплексного числа z = a + bi ≠ 0 принято называть его аргумент из интервала [0; 2π) и обозначать этот аргумент arg z.

6.1.3. Сопряженные комплексные числа

Комплексное число называют числом, сопряженным комплексному числу z = a + b i.

Легко видеть, что число , сопряженное числу , есть число z.

6.1.4. Тригонометрическая форма комплексных чисел

Пусть z=a+bi – некоторое комплексное число, отличное от нуля. Обозначим через r его модуль, а через φ - один из его аргументов. Тогда число z можно записать в виде

z = r (cos φ + i sin φ) (2)

Правая часть равенства (1) называется тригонометрической формой комплексного числа z.

6.1.5. Экспоненциальная форма комплексных чисел

Пусть z=a+bi – некоторое комплексное число, отличное от нуля. Обозначим через r его модуль, а через φ - один из его аргументов. Тогда число z можно записать в виде

(3)

А теперь, если мы приравняем правые части соотношений (2) и (3), то мы получим формулу перехода от экспоненциальной формы к тригонометрической и наоборот:

r (cos φ + i sin φ) = eiφ(4)

Полученное соотношение называется функцией Эйлера.

6.2. Приложение 2. Определение координат вершин шестидесятигранника

Для того чтобы найти координаты шестидесятигранника, необходимо сначала рассмотреть икосаэдр. Икосаэдр имеет 12 вершин. Впишем его в сферу единичного радиуса и введём декартову систему координат. Начало системы координат совместим с центром многогранника. Ось OZ проведем через вершину P1. Ось OX выберем так, что ребро P1P2 окажется в плоскости XOZ. Тогда координаты вершины P1 равны

. (1)

Для дальнейших действий необходимо получить координаты вершины P2. Для этого воспользуемся поворотом первой вершины вокруг оси Y на угол a52. Тогда искомые координаты вершины можно найти следующим образом:

x’2 = sin(2a52), y’2 = 0, z’2 = cos(2a52), (2)

Известно, что

. (3)

Путём несложных преобразований получаем, что:

(4)

Разделим отрезок P1P2 на 3 части так, как показано на рис.1. Обрезая вершины икосаэдра на некотором расстоянии от вершины, мы получим необходимый нам шестидесятигранник. Рёбра полученного шестидесятигранника, изображают межатомные связи в молекуле фуллерена. В молекуле фуллерена существуют связи двух типов: 6-6 (это связь представляет собой общее ребро между двумя шестиугольными гранями) и 5-6 (это связь представляет собой общее ребро между шестиугольной и пятиугольной гранями). Экспериментально доказано, что длины связей различаются. Усреднённые значения равны 1,44 Å (для связи 6-6) и 1,39Å (для связи 5-6). По обозначениям на рис.1 этим значениям соответствуют следующие символы:

 Скачать реферат