Соотношения неопределённостей Гейзенберга

Содержание: Сопряжённые динамических переменных ([импульс-координата]; [энергия-время]; [момент импульса-угол поворота]). Квант действия. Принцип исключения в операторной форме, определяющий возможность совместного измерения динамических переменных.

Принцип неопределённости и его операторные выражения.

7.2. Поставим фундаментальный вопрос: «Зависит ли результат измерения от организаци

и самой процедуры измерения? Можно ли сконструировать универсальные приборы для совместного измерения любых величин?» Если ответ положительный, то последовательность измерений любой пары физических величин не играет роли, и процедуры их измерения можно выполнять в любом порядке. Если же ответ отрицательный, следует ожидать, что изменяя порядок измерений, можно получить и иной результат. Исследуем эту ситуацию.

Предстоит решить очень важную проблему, связанную с возможностью совместного измерения различных динамических переменных. Для этого рассмотрим две динамические характеристики. Им соответствуют эрмитовы операторы и , независимо преобразующие волновую функцию. В простейшем случае совместное измерение величин является комбинацией из двух последовательно выполняемых элементарных процедур. Как это выглядит математически?

Первичному измерению величины отвечает преобразование вида A = . После дующее вслед за величиной измерение величины порождает вторичное преобразование вида B=A = . В целом последовательности двух измерений отвечает цепочка из двух преобразований волновой функции в виде операторного уравнения вида:

B = .

7.2.3. Меняя порядок измерения величин, следует в общем случае ожидать и иного результата. Если первой измерена величина , а второй величина то первое измерение отображается преобразованием C = , а второе измерение уже D=C = , так что

D = .

Две эти разные последовательности измерений двух величин порождают два конечных результата B и D. В общем случае они могут не совпадать, но не исключён и нулевой результат. Составим их разность, и соберём все операторы слева от символа преобразуемой волновой функции, используя свойство ассоциативности эрмитовых операторов:

= .

Оператор называется коммутатором (по-русски «перестановщик»).

7.2.4. Мы подготовились к очень важным заключениям, а именно:

а) если итог двух последовательных измерений независим от порядка их осуществления, то коммутатор должен быть нулевым:

, т.е.

.

Компактно это выглядит как: .

б) если итог двух последовательных измерений всё же зависит от порядка их выполнения, то , т.е.

.

Коммутатор здесь не равен нулю: .

7.2.5.1. При нулевом коммутаторе порядок измерений не влияет на получаемую количественную информацию, и обе величины и могут быть измерены совместно (в одном едином общем эксперименте с помощью единого прибора).

7.2.5.2. Если коммутатор ненулевой, то получаемая информация зависит от последовательности измерений, и величины и в одном приборе в принципе совместно не могут быть измерены.

Что же имеет место в природе на самом деле? Попробуем получить ответ.

7.3.Соотношения неопределённостей Гейзенберга.

7.3.1. Накоплена достаточная информация, чтобы решить одну из важнейших проблем квантовой механики, связанную с совместными измерениями динамических переменных.

Исследуем, можно ли измерить:

- импульс частицы, находящейся в определённой точке пространства;

- момент импульса вращающейся частицы в определённой точке орбиты;

- энергию системы в конкретный момент времени.

7.3.2. Выбор этих пар динамических переменных не случаен. Эти пары величин взаимно дополняют друг друга таким образом, что их произведение обладает размерностью циклической константы Планка , так что .

Размерность величины является произведением размерностей энергии и времени или импульса и расстояния. Физическую величину с такой размерностью принято называть действием. В силу этого-то константу Планка часто называют квантом действия.

7.3.3. Образуем три коммутатора , , , необходимых для исследования этих трёх ситуаций согласно выводам предыдущих параграфов. Сразу же запишем выражения и для комплексно сопряжённых операторов.

7.3.4. Первый коммутатор построим из оператора компоненты импульса и соответствующей ему координаты:

7.3.5. Второй коммутатор построим аналогично из оператора момента импульса и ему соответствующей координаты - угла поворота плоского ротатора:

.

7.3.6. Также и третий коммутатор построим из оператора энергии и времени. Зависящий от времени гамильтониан заимствуем из временного уравнения Шрёдингера:

Перед Вами наиболее последовательный операторный вывод соотношений неопределённостей Гейзенберга. Они относятся к числу фундаментальных законов природы.

 Скачать реферат