Системы теплогазоснабжения и вентиляции

Для исследования количественных характеристик некоторых процессов можно применять показательный закон распределения (рис. 5). Плотность вероятности показательного закона выражается зависимостью . Здесь плотность является величиной, обратной математическому ожиданию , кроме того .

В различных областях исследований широко применяется закон распределения Вейбулла (рис.6). , где n, - параметры закона; х – аргумент (чаще принимаемый как время).

Исследуя процессы, связанные с постепенным снижением параметров (ухудшением свойств материалов во времени, деградация конструкций, процессы старения, износовые отказы в машинах и др.), применяют закон - распределения (рис. 7). ; где - параметры. Если = 1, - функция превращается в показательный закон.

При исследовании многих процессов, связанных с установлением расчетных характеристик, материалов и т.п., используют закон распределения Пирсона (рис.8), чаще всего представляемый в виде:

где а – максимальная ордината; d,b – соответственно расстояния от максимальной ординаты до центра распределения С и начала координат 0.

Кроме приведенных выше применяют и другие виды распределений. В исследованиях часто возникает необходимость выявления факторов или их комбинаций, существенно влияющих на исследуемый процесс, так как при измерении какой-либо величины результаты обычно зависят от многих факторов. Практика показывает, что основными факторами, как правило, являются техническое состояние прибора и внимание оператора. Для установления основных факторов и их влияния на исследуемый процесс используется дисперсионный одно- и многофакторный анализ. Суть однофакторного дисперсионного анализа рассмотрим на примере. Пусть необходимо проверить степень точности группы m приборов и установить, являются ли их систематические ошибки одинаковыми, т.е. изучить влияние одного фактора – прибора на погрешность измерения. Каждым прибором выполнено n измерений одного и того же объекта, а всего nm измерений. Отдельное измерение хij, где i – номер прибора, имеющий значение от 1 до m; j- номер выполненного на этом приборе измерения, изменяющийся от 1 до n. Дисперсионный анализ допускает, что отклонения подчиняются нормальному закону распределения, в соответствии с которым вычисляют для каждой серии измерений среднеарифметическое значение и среднюю из показаний первого прибора и т.д. для каждого из niизмерений иmiприборов.В результате расчетов устанавливают величину Q1, называемую суммой квадратов отклонений между измерениями серий:

Она показывает степень расхождения в систематических погрешностях всехmприборов, т.е. характеризует рассеивание исследуемого фактора между приборами.

Здесь -среднеарифметическое для n измерений;

- среднеарифметическое для всех серий измерений, т.е. общее среднее значение.

Определяется также величина Q2

где хij- отдельноеi-е измерение наj-ом приборе.

Величину Q2 называют суммой квадратов отклонений внутри серии. Она характеризует остаточное рассеивание случайных погрешностей одного прибора.

При таком анализе допускается, что центры нормальных распределений случайных величин равны, в связи с чем все mn измерения можно рассматривать как выборку из одной и той же нормальной совокупности. Чтобы убедиться в возможности такого допущения, вычисляют критерий:

Числитель и знаменатель представляют собой дисперсию для m и mnнаблюдений. В зависимости от значений k1 = m-1 и k2 = m(n-1) числа степеней свободы и вероятности р составлены табличные значения Jт. Если J≤ Jт то считается, что в данном примере все приборы имеют одинаковые систематические ошибки.

Дисперсионный анализ является многофакторным, если он имеет два фактора и более. Суть его принципиально не отличается от однофакторного, но существенно увеличивается количество расчетов.

Методы теории вероятностей и математической статистики часто применяют в теории надежности, широко используемой в различных отраслях науки и техники. Под надежностью понимают свойство изделия (объекта) выполнять заданные функции (сохранять установленные эксплутационные показатели) в течение требуемого периода времени. В теории надежности отказы рассматривают как случайные события. Для количественного описания отказов применяются математические модели – функции распределения вероятностей интервалов времени.

Основной задачей теории надежности является прогнозирование (предсказание с той или иной вероятностью) различных показателей безотказной работы (долговечности, срока службы и т.д.), что связано с нахождением вероятностей.

Для исследования сложных процессов вероятностного характера применяют метод Монте-Карло, с помощью которого отыскивается наилучшее решение из множества рассматриваемых вариантов. Результаты решения метода позволяют установить эмпирические зависимость исследуемых процессов. Математической основой метода является закон больших чисел: при большом числе статистических испытаний вероятность того, что среднеарифметическое значение случайной величины стремится к ее математическому ожиданию, равна 1, т.е.

где - любое малое положительное число.

Из этой формулы видно, что по мере увеличения числа испытаний n среднеарифметическое неограниченно (асимптотически) приближается к математическому ожиданию.

 Скачать реферат