Разработка методики введения определения "асимптота"

Найдем область определения и значений данной функции.

Какой промежуток является областью определения данной функции? Любое значение может принимать x?

х принимает любое значение, кроме 0, так как на ноль делить нельзя.

D(f)=(-;0);+)

Область значений:

E(f)= (-;-2);+)

Является ли данная функция четной, нечетной, периодической?

f(x)=

f(-x)=; -f(x)=

f(x)f(-x)

f(-x)=-f(x)

Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат, не периодическая.

Есть точки пересечения с осями координат?

Таких точек нет.

Является ли данная функция возрастающей, или убывающей?

Функция возрастает на промежутке (-;-1);+)

Убывает на промежутке (-;0);1).

Имеет данная функция точки максимума, минимума?

Тока минимума x=1 y=2

Точка максимума x=-1 y=-2

Как себя ведёт данная функция в окрестности точек не входящих в область определения данной функции? В нашем случае, в окрестности точки х=0.

Как себя ведет функция?

График приближается к оси Oy. Но никогда её не пересечёт.

2. Подготовка к введению определения

Мы с вами построили графики нескольких различных функций. Посмотрите на них внимательно, есть ли что-то общее? Какие функции задают графики, как себя ведет график?

Область определения и значения у них различны, промежутки возрастания, убывания и точки максимума тоже.

Первый и третий график не пересекают осей координат, ветви графика приближаются к осям, но не пересекутся с ними никогда.

Второй график пересекает ось Oy, приближается к оси Ox, но никогда её не пересечёт.

Мы заметили, что существуют прямые к которым график функции приближается, но никогда с ними не пересекается.

В математике такие прямые называют асимптотами. Существует несколько видов, это горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты. Что же такое асимптота?

3. Введение определения

Чем является асимптота? Прямой.

Что такое вертикальная асимптота? Это прямая.

Какая это прямая, как она будет располагаться? Вертикальная прямая.

Что происходит с графиком функции? Он приближается к этой прямой но не пересекается с ней.

Вертикальная асимптота – вертикальная прямая к которой приближается график функции, но никогда с ней не пересечется.

Запишем определение вертикальной асимптоты.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

Что такое горизонтальная асимптота?

Горизонтальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют горизонтальными асимптотами.

Запишем определение.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Что такое наклонная асимптота?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой, то такую прямую называют наклонно асимптотой.

Запишем определение.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой наклонной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют наклонной асимптотой.

Посмотрите на графики, полученные нами ранее.

В первом случае, какая прямая является асимптотой?

х=0 – вертикальная асимптота.

y=0 – горизонтальная асимптота.

Второй график какие асимптоты имеет?

y=0 – горизонтальная асимптота.

Третий график.

х=0 – вертикальная асимптота.

А также есть наклонная асимптота. Посмотрите на график, одна его ветвь приближается к оси Oy, а другая будет приближаться к какой-то наклонной прямой. Эта прямая будет проходить через начало координат. Каким уравнением она будет задаваться?

y=x – наклонная асимптота.

4. Логико-математический анализ структуры определения

Чем является асимптота с точки зрения геометрии?

Прямая.

Каким отличительным свойством обладает эта прямая (асимптота)?

К ней приближается график функции, но не пересекается с ней.

5. Выполнение действий подведения под понятие

№1. Построить график функции y=и указать асимптоты данного графика, если они есть.

х=-1 – вертикальная асимптота.

y=0 – горизонтальная асимптота.

Что называется горизонтальной асимптотой? вертикальной?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.

№2. Построить график функции y=tgx и указать асимптоты данного графика, если они есть.

х= – , х=– вертикальные асимптоты.

Что называется горизонтальной асимптотой? вертикальной?

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной прямой при неограниченном возрастании (по модулю x),то такую прямую называют горизонтальной асимптотой.

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции f, называют вертикальными асимптотами.