Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

(35´),

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность :

т.к. ght=23 src="images/referats/7515/image123.png">, т.е. (36´).

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:

где .

Т.к. b+c=2n, то b-2n = b-(b+c) = -c = -1 => c= 1 (40).

Учитывая (34´), получим => (38´´´).

Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35´)):

, т.е. (41´´).

Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:

(40),(38´´´),

(41´´), (33´), где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 8

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.

(40´),(38´´),

, (33), где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Вывод

Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и уравнение при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при , либо при .

Случай 9

(16)

(17)

(18´)

(19)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=> .

Следовательно,

==> 2t = 4r (≠ 0, т.к. в (26´´) с ≠ b) => t = 2r (32´) => в (16) и (17) cи b– четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*********

Случай 10

(16´)

(17´)

(18)

(19´),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 9.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

- => .

Следовательно, -=-=> 2t = 4r (≠ 0, т.к. в (26´´) с ≠ b) => t = 2r (32´) => в (16´) и (17´) cи b – четные, чего не должно быть.

 Скачать реферат